高考数学二轮复习 专题专题复习 第四章 数列教学案

第四章 数列

§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….

3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝

a?ba?b．我们把Ａ＝22叫做ａ和ｂ的等差中项．

二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

an??3.数列｛an｝的前n项的和Sn与an之间的关系：

则an不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.

?S1?Sn?Sn?1(n?1),(n?2).若a1适合an(n>2),

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,an）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为

Sn?d2dddn?(a1?)n，若令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2+Bn.22226、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，Sn，n中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和.

用心 爱心 专心

错解：（1）an=3n+7;

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n项之和.

错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=10?1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n－2;

(2) 1+4+…+（3n－5）是该数列的前n－1项的和.

22 [例2] 已知数列?an?的前n项之和为① Sn?2n?n ② Sn?n?n?1

求数列?an?的通项公式。

22错解： ① an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?322 ② an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n错因：在对数列概念的理解上，仅注意了an＝Sn－Sn-1与的关系，没注意a1=S1.正解： ①当n?1时，a1?S1?122 当n?2时，an?2n?n?2(n?1)?(n?1)?4n?3 经检验 n?1时 a1?1 也适合，?an?4n?3 ②当n?1时，a1?S1?322 当n?2时，an?n?n?1?(n?1)?(n?1)?1?2n(n?1)?3 ∴ an??

?2n(n?2)[例3] 已知等差数列?an?的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。错解：S30= S10·2d. ? d＝30， ? S40= S30+d =100.

错因：将等差数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.

10?9?10a?d?10?22?12正解：由题意：?得a1?,d?515?30a?30?29d?701?2?代入得S40 ＝40a1?40?39?40d?120。2[例4]等差数列?an?、?bn?的前n项和为Sn、Tn.若

Sna7n?1?(n?N?),求7；Tn4n?27b7错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.

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?a77?7?110??b74?7?2711Snan?bnTn错因：误认为

正解：?a7a7?a7S137?13?192????b7b7?b7T134?13?2779[例5]已知一个等差数列?an?的通项公式an=25－5n，求数列?|an|?的前n项和；错解：由an?0得n?5

? ?an?前5项为非负，从第6项起为负，

? Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n?5)

当n?6时，Sn=｜a6｜+｜a7｜+｜a8｜+…+｜an｜＝

(20?5n)(n?5)2[来

源:Zxxk.Com]

,n?5?50?? Sn=?(20?5n)(n?5),n?6?2?错因：一、把n?5理解为n=5，二、把“前n项和”误认为“从n?6起”的和.

?n(45?5n),n?5??2正解： ?

(20?5n)(n?5)??50,n?6?2?[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n项和的公式吗？

解：理由如下：由题设： S10?310 S20?1220得： ??10a1?45d?310?a1?4 ???20a1?190d?1220?d?6n(n?1)?6?3n2?n2 ∴ Sn?4n?1?n[例7]已知：an?1024?lg2 （lg2?0.3010）n?N? （1） 问前多少项之和为最

大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ??an?1024?(1?n)lg2?010241024??n??1?3401?n?3403

lg2lg2?an?1?1024?nlg2?0用心 爱心 专心

∴n?3402 （2） Sn?1024n?n(n?1)(?lg2)?02 当Sn?0或Sn近于0时其和绝对值最小 令：Sn?0 即 1024+ 得：n?n(n?1)(?lg2)?022048?1?6804.99lg2 ∵ n?N? ∴n?6805[例8]项数是2n的等差数列，中间两项为an和an?1是方程x?px?q?0的两根，求证此数列的和S2n是方程 lgx?(lgn?lgp)lgx?(lgn?lgp)?0的根。 （S2n?0） 证明：依题意an?an?1?p

22222 ∵a1?a2n?an?an?1?p ∴S2n?2222n(a1?a2n)?np22 ∵lgx?(lgn?lgp)lgx?(lgn?lgp)?02∴ (lgx?lgnp)?0 ∴x?np?S2n （获证）。 四、典型习题导练

n1．已知a1?3且an?Sn?1?2，求an及Sn。

n(n?1)(n?1)2?an?2．设an?1?2?2?3?3?4???n(n?1)，求证：。223.求和: 1?111????1?21?2?31?2?3???n2222224.求和： (100?99)?(98?97)???(4?3)?(2?1)222225.已知a,b,c依次成等差数列，求证：a?bc,b?ac,c?ab依次成等差数列.

6.在等差数列?an?中， a5?a13?40，则 a8?a9?a10?（ ）。

A．72 B．60 C．48 D．36

7. 已知?an?是等差数列，且满足am?n,an?m(m?n)，则am?n等于________。8.已知数列??1?1113a??,a??成等差数列，且，求a8的值。?3567?an?2?用心 爱心 专心