人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案

根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为 ， ，即可确定出x的范围．

此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，画出正确的图形是解本题的关键．

8. 解：由于 ，由向量加法的几何意义，

O为边BC中点，

的外接圆的圆心为O，半径为1， 三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，

，斜边 ，

， 又

， ，

．

故选：B．

由 ，利用向量加法的几何意义得出 是以A为直角的直角三角形，

，从而可求 ， 的值，利用三角形面积公式即可得解． 又

本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考查．

9. 解：由题意

，

即 ， 亦即 ， ， ， ， ， 故选：B． 利用

可得

，再利用两角和差的余弦可求．

本题主要考查两角和差的余弦公式的运用，考查三角函数与解三角形的结合 属于基础题．

10. 解：

，

，

，

故选B．

先通过余弦定理求得ab和 的关系式对原式进行通分，把ab的表达式代入即可．

本题主要考查了余弦定理的应用 解题的关键是找到 ， 和c的关系式． 11. 解：锐角 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、 ， ， ，且 ，

． ，

，

， ，

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由正弦定理可得：

，

，

则b的取值范围为 ， 故选A

由题意可得 ，且 ，解得A的范围，可得 的范围，由正弦定理求得 ，根据 的范围确定出b范围即可．

此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围． 12. 解： ，

由正弦定理，得 ， ， 又 ， ，

．

由余弦定理可得： ， 可得： ，

即有： ，代入： 可得： ， 的最大值为 ． 故选：A．

利用正弦定理化边为角，可求导 ，由此可得B，由余弦定理可得： ，由基本不等式可得： ，代入： 可得 的最大值．

该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．

13. 解： 变形得： ，

利用正弦定理得： ， ，即 ， 由 ，得到 ， 又A为三角形的内角，则 ； ，

，

，即 ， ，即

，

，

则 的周长

，

， ，

，即 ，

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则l范围为 ， ． 故答案为： ； ，

将已知的等式左右两边都乘以2变形后，利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据 不为0，得出 的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由A的度数求出 的值，及 的度数，用B表示出C，由正弦定理表示出b与c，而三角形ABC的周长 ，将表示出的b与c，及a的值代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可得到l的范围．

此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，利用了转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

14. 解： 在 中 ， ， 由正弦定理可得 ， ， 联立可解得 ， 由余弦定理可得

，

再由二倍角公式可得 ， 解得 或 ，

再由三角形内角的范围可得 ， 故

故答案为：

由题意和正弦定理可得 ，代入余弦定理可得 ，由二倍角公式和三角形内角的范围可得．

本题考查解三角形，涉及正余弦定理和二倍角公式，属中档题．

15. 解：将

整理得：

，

，

代入已知等式得：

，

当 ，即 时， 为直角三角形； 当 时，得到 ， 为等腰三角形， 则 为等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形．

利用余弦定理表示出 与 ，代入已知等式，整理后即可确定出三角形形状． 此题考查了余弦定理，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

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16. 解：原式可化为

或 或 ．

故答案为等腰三角形或直角三角形

左边利用正弦定理，右边“切变弦”，对原式进行化简整理进而可得A和B的关系，得到答案．

本题主要考查了正弦定理的应用 考查了学生利用正弦定理解决三角形问题的能力． 17. 解：由已知 ，即 ，根据正弦定理，

得， ，即 ． 由余弦定理得

．

又 ， 所以 ．

，可得 ， 所以 ，三角形是正三角形，

．

故答案为： ．

通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值 通过 ，求出 ， 的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．

本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角函数的值的求法三角形形状的判断，向量数量积的应用，考查计算能力．

18. 解： 当 ，即 ，即 时，三角形无解； 当 ，即 ，即 时，三角形有 解；

当 ，即 ，即 ，三角形有 个解；

当 ，即 时，三角形有1个解． 综上所述：当 或 时，三角形恰有一个解． 故答案为： 或

要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出恰有一个解时k满足的条件．

本题主要考查三角形解得个数问题，重在讨论 易错点在于可能漏掉 这种情况． 19. 解：由 ，利用正弦定理可得： ， ，

， ，

，

， 即 ， ， ，即 ，

，

，

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