河南省百校联盟2016年高考数学模拟试卷（理科）（5月份） Word版含解析

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．

【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；

（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+

，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化

简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围． 【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，代入椭圆方程可得由点P（0，

+

=1，

，即有

=

），

）到椭圆C的右焦点的距离为，

解得c=2，即a2﹣b2=4， 解得a=2，b=2， 即有椭圆的方程为

+

=1；

，

（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±可得M的坐标为（2，），又|AB|=4， 可得△MAB的面积为×2×4=4； 设直线y=kx+可得中点M（

，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，

，

），

|MP|==，

设直线AB的方程为y=﹣x+（2+k2）x2﹣4

kx﹣4k2=0，

，代入椭圆方程，可得：

设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=

，x1x2=

，

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则|AB|=?

=?，

可得△MAB的面积为S=???

=4，

设t=4+k2（t＞4），可得

==＜=1，

可得S＜4，且S＞0，

综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．

21．已知函数f（x）=ax﹣x（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2． （Ⅰ）求实数a的取值范围； （Ⅱ）当λ＞0时，若不等式lna＞

恒成立，求实数λ的取值范围．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（Ⅰ）问题等价于lna=

在（0，+∞）上有2个解，令F（x）=

，求出函数的

导数，得到函数的单调区间，求出F（x）的范围，得到关于a的不等式，解出即可；

（Ⅱ）原不等式等价于＞恒成立，令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜

在t∈（0，1）上恒成立，令h（t）=lnt﹣

性求出λ的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得：ax=x在（0，+∞）上有2个解， 即xlna=lnx?lna=

在（0，+∞）上有2个解，

，根据函数的单调

令F（x）=，F′（x）=，

∴x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）递增， x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）递减， 故x＞0时且x→0时，F（x）=lnx→﹣∞，

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x→+∞时，lnx＜x，F（x）=lnx→0， 故F（x）的最大值是F（e）=， 要使方程lna=解得：1＜a＜

有2个解，需满足0＜lna＜， ；

（Ⅱ）由lnx1=x1lna，lnx2=x2lna， 作差得：ln

=（x1﹣x2）lna，即lna=

，

故原不等式等价于＞恒成立，

∵0＜x1＜x2，∴ln

＜恒成立，

令t=，t∈（0，1），则不等式lnt＜在t∈（0，1）上恒成立，

令h（t）=lnt﹣，又h′（t）=，

0＜λ≤1时，即λ2t﹣1＜0时，h′（t）＞0，h（t）在（0，1）大致，

又h（1）=0，h（t）＜0在（0，1）恒成立，符合题意， λ＞1时，t∈（0，

）上大致，在t∈（

，1）上递减，又h（1）=0，

∴h（t）在t∈（0，1）不能恒小于0，不合题意，舍去， 综上，若不等式lna＞

恒成立，只需0＜λ≤1．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线AD交BC于D，交⊙O于E，连接CO并延长，交AE于G，交AB于F． （Ⅰ）证明：

=

?

；

（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的长．

- 19 -

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（Ⅰ）过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE，证明 =

?

；

，

，即可证明：

（Ⅱ）求出DC，证明△ADC∽△ABE，可得比例线段，即可求AD的长． 【解答】（Ⅰ）证明：过D作DM∥AB，交AC于M，连接BE， ∴

=

，∠BAD=∠ADM，

∵∠BAD=∠CAD， ∴∠CAD=∠ADM， ∴AM=MD， ∴∴同理∴

=

?，， ；

，

，

（Ⅱ）解：∵AD?DE=BD?CD，∴DC=，

∵△ADC∽△ABE， ∴

，

∴AD?AE=AB?AC，

∴AD?（AD+DE）=AB?AC，

∴AD2=AB?AC﹣AD?DE=AB?AC﹣BD?DC=3×∴AD=

．

=

，

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