河南省百校联盟2016年高考数学模拟试卷（理科）（5月份） Word版含解析

16．已知关于x的方程x3﹣ax2﹣x+1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为 （﹣∞，1） ．

【考点】函数的零点． 【分析】分离参数a=x﹣

交点个数判断即可．

，利用导数判断单调性，画出图象，求解极值，利用y=a，y=x

【解答】解：x3﹣ax2﹣x+1=0， a=x令y=x

， ，

y′=，

x3+x﹣2=0，x=1 x＜0时y′＞0， x＞1时，y′＞0， 0＜x＜1时，y′＜0， ∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减， x=1时，函数取的极小值为1﹣1+1=1 ∴y=a，与y=x

故答案为：（﹣∞，1）．

交点为1个时，a＜1，

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三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤

17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b． （1）求角A的大小； （2）若△ABC的面积为

，且c2+abcosC+a2=4，求a．

【考点】正弦定理． 【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；

（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a． 【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，

∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB， ∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB， ∵B为三角形内角，sinB≠0， ∴cosA=， 又∵A∈（0，π）， ∴A=

．

，且△ABC的面积为

=bcsinA=

bc，

（2）∵A=

∴解得：bc=1， ∵c2+abcosC+a2=4，cosC=

，

∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，

∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=

．

18．已知A、B两个盒子中都放有4个大小相同的小球，其中A盒子中放有1个红球，3个黑球；B盒子中放有2个红球，2个黑球．

（1）若甲从A盒子中任取一球、乙从B盒子中任取一球，求甲、乙两人所取球的颜色不同的概率；

（2）若甲每次从A盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次；乙每次从B盒子中任取两球，记下颜色后放回，抽取两次．在四次取球的结果中，记两球颜色相同的次数为X，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【分析】（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”，由此利用对立事件能求出甲、乙两人所取球的颜色不同的概率．

（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

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【解答】解：（1）设事件A为“甲、乙两人所取球的颜色不同”， 则P（A）=1﹣

=．

（2）依题意X的可能取值为0，1，2，3，4， 甲每次所取的两球颜色相同的概率为

=，

乙每次所取的两球颜色相同的概率为，

P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=∴X的分布列为： X 0 P EX=

=， +

=

+

+

=

， ，

×=

，

+

=，

1 2 =．

3 4

19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=

AA1，∠C1A1A=

．

（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1； （Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．

（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．

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【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG， 在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1， ∴GE?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1， ∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1， 又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1， ∵EF?平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1． 解：（Ⅱ）连结AC1，在△AA1C1中，∴由余弦定理得

=

+

，

， ，

﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=

∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1， 又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1， ∴AC1⊥平面ABB1A1，

∵AB?平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，

又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，

分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0）， C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0）， ∴

=（2，1，﹣1），

=（1，2，﹣1），

=（﹣1，0，1），

=（0，1，0），

设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z）， 则

，取x=1，得=（1，0，1），

设平面CB1D的法向量=（a，b，c）， 则

，取a=1，得=（1，1，3），

cos＜＞===，

∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为

．

20．已知椭圆C：上，点P（0，

+

=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣

．

）2=2的圆心Q在椭圆C

）到椭圆C的右焦点的距离为

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