【详解】河南省郑州市2019届高三第二次质量检测数学(文)试题含答案

所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：

20×10×0.01+30×10×0.015+40×10×0.035+50×10×0.03+60×10×0.01＝41.5； （2）由题意200

人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为

, ∴纸质阅读的人数为

=50，其中中老年有人，∴纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，

=90，则中老年有

人，

青少年人数为150得2×2列联表， 青少年（人） 中老年（人） 合计（人） 计算所以有

电子阅读 90 60 150 纸质阅读 20 30 50 合计 110 90 200 ，

的把握认为认为阅读方式与年龄有关．

【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题． 20.椭圆点），若

的周长为

的左、右焦点分别为，且面积的最大值为

，为椭圆上一动点（异于左、右顶.

（1）求椭圆的方程； （2）设且

是椭圆上两动点，线段，求

的取值范围.

；（2）

.

的中点为，

的斜率分别为

为坐标原点，

【答案】（1） 【分析】 （1）通过2a+2c=

且，计算即得结论； ，

（2）当直线AB的斜率k＝0时，|OP|

- 17 -

当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t，由﹣4＝0，求得p（|OP|2

，

）．由

2

2

可得（m+4）y+2mty+t2

222

，?2t＝m+4，代入|OP|的运算中，化简得

∈（，2]即可．

的周长为2a+2c=

且

，

【详解】（1）由题知，∴

，c=

∴椭圆C的方程为：；

（2）当直线AB的斜率k＝0时， 此时k1，k2（O为坐标原点），满足可令OB的方程为：y，（xB＞0）

，k1＝-k2=﹣．

由可得B（，），

此时|OP|，

当直线AB的斜率k≠0时，可令AB的方程为：x＝my+t， 由

22

可得（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0，

2

2

2

2

△＝4mt﹣4（m+4）（t﹣4）＞0?m﹣t+4＞0…①

，

x1+x2＝m（y1+y2）+2t∴p（∵

2

．

）．

?4y1y2+x1x2＝0．

2

，，∵

?（4+m）y1y2+mt（y1+y2）+t＝0． ?t2﹣4

t2＝0．

?2t2＝m2+4，且t2≥2，…② 由①②可得t2≥2恒成立， |OP|2

∈（，2]

- 18 -

|OP|．

，

]．

综上，|OP|的取值范围为[

【点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题． 21.已知函数（1）曲线

在点

.

处的切线方程为

，求

的值；

（2）若，时，，都有，求的取值范围.

【答案】（1） 【分析】

；（2）.

（1）对f(x)求导后利用（2）先判断若对值，得到

，即，

-1,直接求解即可.

上是减函数，利用单调性及

在x∈

的大小去绝

时，f（x）在区间

，构造函数在x∈

时是增函数．可得利用导数分析其最

时恒成立．再构造g(x)=

值，即可得出实数a的取值范围． 【详解】（1）∵∴b=,a=1. （2）若

，

时，

上是减函数．

，

．

， 在x∈

时是增函数．

,在x

上

恒成立，

=

，∴

-2b=-1,

,

∴f（x）在区间

不妨设1

等价于

- 19 -

∴，即在x∈时恒成立．令g(x)=,则，

令∴

在x∈

∴

．

，则=-=在x∈

<0在x∈时恒成立,

时恒成立,即

时是减函数，且x=e时，y=>0，∴y>0在x∈

时恒成立, ∴ g(x) 在x∈时是增函数，∴g(x)

所以，实数a的取值范围是．

【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，考查了利用导数研究函数的单调性及最值范围问题，考查了等价转化、适当变形、构造函数等基础知识与基本技能，考查了理能力和计算能力，属于难题． 选修4—4：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系

中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极

坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线

分别交于两点.

，求

的值；

（1）若点的极坐标为

（2）求曲线的内接矩形周长的最大值. 【答案】（1）4；（2）16. 【分析】

（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程变形为标准方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，可得

，由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案；

（2）写出曲线C的参数方程，分析可得以P为顶点的内接矩形周长

l【详解】（1）由

，由正弦函数的性质分析可得答案．

，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得到+3=12,

，化为直角坐标为（-2，0）

所以曲线C的直角坐标方程为+3=12，的极坐标为

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