11 答案 二次函数-矩形的存在性问题

二次函数中矩形的存在性问题

（2）联立抛物线和直线解析式可得，

解得，，

∴B点坐标为（﹣2，0），

如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，

当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上， ∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4）， 又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4， ∵P点在抛物线线上， ∴4=x+2x，解得x=﹣1﹣∴x=﹣1﹣∴PC=

2

或x=﹣1，

∵P点在A、B之间的抛物线上，

不合题意，舍去，

﹣1，4）， ﹣1；

∴P点坐标为（

﹣1﹣0=

（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形， ∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n， ∵C、E都在直线y=2x+4上， ∴C（m，2m+4），E（∵PC∥x轴，

∴P点纵坐标为2m+4， ∵P点在抛物线上，

∴2m+4=x+2x，整理可得2m+5=（x+1），解得x=∴P点坐标为（∴DE=

﹣m，CP=

﹣1，2m+4），

﹣1﹣m，

2

2

，n），

﹣1或x=﹣﹣1（舍去），

∵四边形PCDE为矩形， ∴DE=CP，即

2

﹣m=﹣1﹣m，

整理可得n﹣4n﹣8m﹣16=0，

即m、n之间的关系式为n﹣4n﹣8m﹣16=0．

2

5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，

B（3,13），对称轴为直线x??，点P是抛物线上的一动点，

21111MP,MD?OM,OE?ON,NF?NP. 3333过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 在四边形PMON上分别截取PC?（1）求此二次函数的解析式；

（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形； （3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？

5

二次函数中矩形的存在性问题

若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）设二次函数的解析式为y?ax?bx?c,将点A（0，-3）、B（3,23）、对称轴方程分别代入可得：

??3?c,??a?1,??2?3?3a?3b?c，解得?a?1,∴此二次函数的解析式为y?x?x?3.

??b1??b??3.??2a??2.（2）证明：如图连接CD，DE，EF，FC.∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴四边形OMPN是矩形.∴MP=ON，OM=PN. 又PC?13MP,MD?13OM,OE?113ON,NF?3NP, ∴DM?FN,MC?NE∴△CMD?△ENF,同理△ODE?△FPC(SAS), ∴CF=ED，CD=EF.,∴四边形CDEF是平行四边形. （3）如图，作CQ⊥y轴于点Q，设P点坐标为?x,x2?x?3?，

则QN?PC?OE?1MP.∴EQ??1?x233?x?3?.∴在Rt△ECQCE2?EQ2?CQ2中，?19?x2?x?3?2?x2.

DE2?OD2?OE222?????23x????????13?x2?x?3?????4x2?1?x2299?x?3?,当CD⊥DE时， CD2?DM2?CM2

?1429x2?9?x2?x?3?,?CE2?DE2?CD2?4x2?121429?x2?x?3??9x29?9?x2?x?3??59x2?59?x2?x?3?2. 6

二次函数中矩形的存在性问题

22当x2?x?3?x时,x?3,x??3,125252212??x?x?3??x?x??x?x?3?,999此时，y1?3,y2??3;24242当x2?x?3??x时,x1??3，x2?1,x??x?x?3?,99此时，y1?3，y2??1.2x?x?3??x.?综上可知符合条件的P点有四个，分别是?3，3，?3，-3，?-3，3?，?1，-1?.???

本题用相似更简单！ 6．如图所示，抛物线y=ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；

（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

2

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax+bx﹣3， 得到解得

，

2

2

，

∴抛物线的解析式为y=x﹣2x﹣3．

（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m﹣2m﹣3）， ∵B（3，0），C（0，﹣3）， ∴OB=OC， ∴∠OBC=45°， ∵PF∥OB，

∴∠PFE=∠OBC=45°， ∵PE⊥BC， ∴∠PEF=90°，

7

2

二次函数中矩形的存在性问题

∴△PEF是等腰直角三角形，

∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，

则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=?3?（﹣m+2m+3）+?3?m﹣=﹣（m﹣）+∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大， 此时P（，﹣

），

2

2

，

∵直线BC的解析式为y=x﹣3， ∴F（﹣，﹣∴PF=，

∵△PEF是等腰直角三角形， ∴EF=EP=

，

． ），

∴C△PEF最大值=+

（3）①如图2中，

当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，

②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴． 易知△PFN≌△PEM，

∴PF=PE，设P（m，m﹣2m﹣3）， ∵M（1，﹣4），

∴m=m﹣2m﹣3﹣（﹣4）， ∴m=

或

（舍弃），

．

2

2

∴P点横坐标为

所以满足条件的点P的横坐标为2或

8