11 答案 二次函数-矩形的存在性问题

二次函数中矩形的存在性问题

参考答案

1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺

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时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点 D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 分析： （1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，

利用待定系数法可求得直线BD的解析式；

（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；

（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．

解答： 解：（1）解方程x﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC， ∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，

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把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；

（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx， 把E点坐标代入可求得m=，

∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x， 解得x=

，∴H点到y轴的距离为

，

=

；

又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1， 由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，

∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），

设N点坐标为（x，y），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

1

二次函数中矩形的存在性问题

则有△FOD∽△DOM，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M（0，﹣6），且F（0，）， ∴MG=MF=

，则OG=OM﹣MG=6﹣

=，

∴G（0，﹣）， 设N点坐标为（x，y），则解得x=﹣4，y=﹣

=0，

=﹣， ）；

，此时N（﹣4，﹣

③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3， ∵四边形MFND为矩形，

∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）； 综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（

，﹣）或（﹣4，﹣

2）或（4，）．

2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线y??x?2x?3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与

y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E. （1）求直线AD的解析式；

（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

yCFHEAOGBxAOxAOBxCyMCyMD

答案解：⑴AD：y?x?1

26题图126题备用图126题备用图2⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM 故C△FGH?C△FGM 设F(m,?m2?2m?3)

则FM=?m2?2m?3?(m?1)??m2?m?2

19?92 ?(1?2)FM??(1?2)(m?)2?2429+92故最大周长为

4则 C=FM?2?

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FM二次函数中矩形的存在性问题

⑶①若AP为对角线

911如图，由△PMS∽△MAR可得P(0,)由点的平移可知Q(?2，)故Q点关于直线AM的对称点T为(0,?)

222②若AQ为对角线

791如图，同理可知P(0,?)由点的平移可知Q(2,)故Q点关于直线AM的对称点T为(0,)

2223. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′． （1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；

（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时， △AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； （3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为 （1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标， 当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°， 得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4）， 可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经 过点C、A、A′的抛物线的解析式；

（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点

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M的坐标为：（x，﹣x+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案； （3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案． 解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

∴点A′的坐标为：（4，0）， ∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

2

设抛物线的解析式为：y=ax+bx+c，

∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x+3x+4；

2

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b， ∴

，解得：

2

，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，

设点M的坐标为：（x，﹣x+3x+4），

则S△AMA′=×4×[﹣x+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x+8x=﹣2（x﹣2）+8， ∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，

3

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2

2

二次函数中矩形的存在性问题

∴M的坐标为：（2，6）；

（3）设点P的坐标为（x，﹣x+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时， ∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0）， ∴点B的坐标为（1，4），

∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点， ①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x+3x+4=±4， 当﹣x+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）； 当﹣x+3x+4=﹣4时，解得：x3=∴P3（

，﹣4），P4（

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2

，x2=，﹣4）；

，

②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合； 综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（

，﹣4），P4（

，﹣4）；

如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

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4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E． （1）求抛物线的解析式；

（2）若C为AB中点，求PC的长；

（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE， 设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；

（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；

（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．

解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上， ∴8=2a+4，解得a=2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上， ∴8=2+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x+2x；

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