考点43 双曲线及其性质

考点43 双曲线及其性质

xy

1．(2017·课标Ⅲ，5)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y

5x2y2

＝2x，且与椭圆12＋3＝1有公共焦点，则C的方程为 ( B ) x2y2x2y2A.8－10＝1 B.4－5＝1 x2y2x2y2C.5－4＝1 D.4－3＝1 【解析】

5

?b＝，a2由已知得? ?a2＋b2＝12－3＝9，

2

2

2??a＝4，x2y2

解得?所以双曲线C的方程为4－5＝1，故选B.

2??b＝5，

x2y2

2．(2016·课标Ⅰ，5)已知方程2－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦

m＋n3m2－n

点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(－1，3) C．(0，3)

( A )

B．(－1，3) D．(0，3)

【解析】 ∵2c＝4，∴c＝2. 又m2＋n＋3m2－n＝4， ∴m＝1，∴－＝1，

1＋n3－n

∴方程表示双曲线需满足(1＋n)(3－n)＞0， ∴－1＜n＜3.

3．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是

y2

A．x－4＝1

22

x2y2

( C )

x22

B.4－y＝1

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y22

C.4－x＝1

x2

D．y－4＝1

2

【解析】 满足焦点在y轴上的为C，D中的双曲线． 而C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C.

x2y2

4．(2017·课标Ⅱ，9)若双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2

＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为 ( A )

23

A．2 B.3 C.2 D.3

b

【解析】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，圆(x－2)2＋y2＝4的圆

a心为(2，0)，r＝2.设圆心到渐近线的距离为d，则d＝

2ba2＋b

b2

＝3，解得a2＝2

3，

b21＋a2＝2.

y22

5．(2015·四川，5)过双曲线x－3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝ ( D ) 43A.3 B．23 c∴双曲线离心率e＝a＝C．6

2

D．43

y2

【解析】 双曲线x－3＝1的右焦点为F(2，0)， 其渐近线方程为3x±y＝0. 不妨设A(2，23)，B(2，－23)， 所以|AB|＝43，故选D.

x2y2

6．(2017·课标Ⅰ，15)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若

23

∠MAN＝60°，则C的离心率为__3__． 【解析】 ∵|AM|＝|AN|＝b，∠MAN＝60°，∴△MAN是等边三角形， 3

∴在△MAN中，MN上的高h＝2b.

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∵点A(a，0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝ab3∴c＝2b， c223∴e＝a＝＝3. 3

ab

a2＋b2

ab

＝c，

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