名师名校典型题2014高考数学二轮复习名师知识点总结：统计与统计案例

统计与统计案例

1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．

1． 随机抽样

(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少．

(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2． 常用的统计图表

(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×

频率

＝频率； 组距

②各小长方形的面积之和等于1；

频率1

③小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为. 组距组距(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3． 用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数 数字特征 众数 样本数据 出现次数最多的数据 将数据按大小依次排列，处在最中位数 中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数 频率分布直方图 取最高的小长方形底边中点的横坐标 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 1(2)方差：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]．

n标准差：

1[?x1－x?2＋?x2－x?2＋?＋?xn－x?2]. n

s＝

4． 变量的相关性与最小二乘法

(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．

(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)，通过求Q＝

i＝1

? (yi－a－bxi)最小时，得到线性回归方程y＝bx＋a的方法叫做最小二乘法．

n

2

^^^

5． 独立性检验

对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

x1 x2 总计 2

y1 a c a＋c y2 b d b＋d 总计 a＋b c＋d n n?ad－bc?2则K＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量).

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

考点一 抽样方法

例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编

号为1,2，?，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 A．7 答案 C

解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为

960

＝30，抽取的号码依次为32

B．9

C．10

D．15

( )

9,39,69，?，939.落入区间[451,750]的有459,489，?，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．

在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分

N

成几个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码

n数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，

都等于样本容量和总体容量的比值．

(1)(2013·江西)总体由编号为01,02，?，19,20的20个个体组成，利用下面

的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

7816 3204 A.08 6572 9234 B．07 0802 4935 6314 8200 0702 3623 D．01 4369 4869 9728 6938

0198 7481 ( )

C．02 (2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，?，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

答案 (1)D (2)37 20

解析 (1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.

(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n－3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，40

则应抽取的人数为×100＝20人．

200考点二 用样本估计总体

例2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数

据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是

(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

运动员 甲 乙 第1次 87 89 第2次 91 90 第3次 90 91 第4次 89 88 第5次 93 92

( )

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 答案 (1)A (2)2

解析 (1)由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B，应选A.

1

(2)x甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，

5

1

x乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，

5

122222s2甲＝[(87－90)＋(91－90)＋(90－90)＋(89－90)＋(93－90)]＝4， 5122222s2乙＝[(89－90)＋(90－90)＋(91－90)＋(88－90)＋(92－90)]＝2. 5

(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．

(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高，并完成直方图； (2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

解 (1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为 0．008×10＝0.08.

2所以参赛总人数为＝25(人)．

0.08

分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4(人)， 4

分数在[80,90)之间的频率为＝0.16，

25

[来源学_科_网]

0.16

得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为＝0.016.

10完成直方图，如图．

(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5和6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个，

其中至少有一个在[90,100]之间的基本事件为(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共9个．