2018届高考数学二轮复习 平面向量的数量积专题

平面向量的数量积专题

[基础达标] (35分钟 50分) 一、选择题(每小题5分，共30分)

1.已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是 A.|a|= ??·?? C.λ(a·b)=λa·b

B.|a·b|=|a||b| D.|a·b|≤|a||b|

( )

B 【解析】|a·b|=|a||b||cosθ|，故易知B错误.

1 3 = 3，1 ，则∠2.[2016·新课标全国Ⅲ(丙)卷]已知向量 ????= 2，2 ，????

22

ABC= A.30°

B.45°

C.60°

????·????

( )

D.120°

3，则∠ABC=30°. 2

A 【解析】由夹角公式可得cos∠ABC= ????= · ????

=0，| |=2， |的最大值为 3.已知 ????·????????|=1，|????????· ????=0，则| ????A.

2 55

( )

B.2 C. 5 D.2 5 =0， C 【解析】由 ????·????????· ????=0知B点，D点都在以AC为直径的圆上，当BD为圆的直径时其值最大且为 5.

4.已知向量a=(1，2x)，b=(4，-x)，则“x= 2”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

( )

D.既不充分也不必要条件

A 【解析】当x= 2时，a·b=4-2x2=4-4=0，即有a⊥b，反之，当a⊥b时，有a·b=0，即4-2x2=0，解得x=± 2.

5.[2017·山西忻州一中月考]已知向量a与向量b的夹角为120°，若(a+b)⊥(a-2b)且|a|=2，则b在a上的投影为( )

A.-

1+ 33 8

B.

1+ 33 8

C.

33-1

8

D.

33+1 8

A 【解析】由(a+b)⊥(a-2b)得(a+b)·(a-2b)=0，即|a|2-a·b-2|b|2=0，又|a|=2，由向量a与向量b的夹角为120°得a·b=|a||b|cos=-|b|，故4+|b|-2|b|2=0，解得|b|=

1+ 331- 331+ 331+ 33或|b|=(舍去)，而b在a上的投影为|b|cosθ，即cos 120°=-. 4448

π

6.[2016·甘肃二诊]已知向量m，n的夹角为6，且|m|= 3，|n|=2，在△ABC中， =m-3n，D为BC边的中点，则| ????=m+n， ????????|= A.1

B.2

C.3

D.4

+2??·??+|??|2=

( )

A 【解析】由题意可得m·n=2× 3×

3 |??|2=3，则|????|=|m+n|=

2

|=|m-3n|= |??|2-6??·??????+9|??|2= 21， ????· 13，|

1

=(m+n)· |=????(m-3n)=|m|2-2m·n-3|n|2=-15，则| ????|=2| ????+ ????

=1.

二、填空题(每小题5分，共20分)

7.已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=2，则|c|的取值范围是 .

[2- 2，2+ 2] 【解析】由a，b是单位向量，a·b=0.可设a=(1，0)，b=(0，1)，c=(x，y).∵向量c满足|c-a-b|=2可得(x-1)2+(y-1)2=4，其圆心C(1，1)，半径r=2，∴|OC|= 2.∴r-|OC|≤|c|≤|OC|+r，即2- 2≤|c|≤2+ 2.∴|c|的取值范围是[2- 2，2+ 2].

|=3，点M满足 8.[2016·黄山第二次质检]△ABC中，∠C=90°，且| ????????=2 ????， · = . 则 ????????

=???? + +2 +2( ????? )=2 +6 【解析】由题意可得 ????????=????????=????????????

333

1

，则???? ·???? = 2???? +1???? ·???? =2|???? |2=6. ????

3333

=(-1，-1)，则cos9.[2016·肇庆第三次统一检测]在△ABC中，若 ????=(2，-1)，????∠BAC的值等于 .

4

= =(1，-2)，则cos∠BAC= 【解析】由题意可得 ????????+????=5. |· |5|????|????10.若平面向量a，b满足|2a-b|≤3，则a·b的最小值是

9

· ????????

4

.

-8 【解析】由|2a-b|≤3可知，4a2+b2-4a·b≤9，所以4a2+b2≤9+4a·b.而4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|·|b|≥-4a·b，所以-4a·b≤9+4a·b，得a·b≥-8.

[高考冲关] (20分钟 30分)

1.(5分)[2016·天津高考]已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边 ·???? 的值为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 ????

9

( )

5

A.-8 B.8

1

C.4 1

D.8

11

13

，B 【解析】因为D，E是AB，AC的中点，且DE=2EF，所以 ????=2 ????， ????=4 ????3

·???? =( = 1 ·???? =1 +3 ·???? =所以 ????????+ ????)·????????+????????·????????

24241

311311

|cos 120° |· |cos 60°×|????|·|????+×|????|????=×1×1× - +×1×1×=. 2422428

2.(5分)[2017·湖北华中师大附中月考]已知a，b是两个单位向量，且a·b=-2，向量c与a+b共线，则|a+c|的最小值为( ) A.2

31

B.2 2C.3

3D.1

A 【解析】由于向量c与a+b共线，所以可设c=λ(a+b)，因此|a+c|=|(1+λ)a+λb|，而

|(1+λ)a+λb|2=(1+λ)2|a|2+2(1+λ)·λa·b+λ2|b|2=(1+λ)2+2(1+λ)·λ· -2 +λ2=λ2+λ+1= ??+2 +4，所以当λ=-2时，|(1+λ)a+λb|2取最小值为4，即|a+c|2的最小值为4，故当λ=-2时，|a+c|取最小值为2.

1

312

3

1

3

3

1

|=| 3.(5分)[2016·四川高考]在平面内，定点A，B，C，D满足| ????|=| ????????|， |=1， ，则| = · ????· ????????????= ????· ????=-2，动点P，M满足| ????????= ????????|2的最大值是 A.4 C.

37+6 3443

( )

B.4

49

D.

37+2 334

|=| = · B 【解析】由| ????|=| ????????|可知，D为△ABC外心，由 ????· ????????????= =0，所以BD⊥ ? · · · ????· ????=-2，可得 ????· ????????????= ????( ????? ????)= ????????AC，同理可得AD⊥BC，CD⊥AB，即D为△ABC垂心，所以△ABC为正三角形. ????·

2π1

????=| ????|2cos3=-2| ????|2=-2，所以| ????|=2，所以△ABC边长为2 3.取AC中点E，1117因为M是PC的中点，所以EM=2AP=2，所以| ????|max=|BE|+2=2，所以49| ????|2=. max4

4.(5分)向量 ????=(1，1)， ????=( 1-??， ??+3)，f(x)= ????· ????，函数f(x)的最大值为 .

2 2 【解析】由题得f(x)= 1-??+ ??+3(-3≤x≤1)，所以f2(x)=4+2 (1-??)(??+3)，即f2(x)=4+2 -??2-2??+3=4+2 -(??+1)2+4，因此当x=-1时，f2(x)取最大值为8，故f(x)的最大值为2 2.

5.(10分)设两个向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为3，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 【解析】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，得即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0，

(2????1+7??2)·(??1+????2)|2????1+7??2||??1+????2|

π

<0，