2010年高考数学真题解析版 - 四川卷（理科）

（Ⅰ）设关于x的方程loga值范围；

t?g(x)在区间?2,6?上有实数解，求t的取2(x?1)(7?x)2?n?n2 （Ⅱ）当a?e（e为自然对数的底数）时，证明：?g(k)?；

2n(n?1)k?2n （Ⅲ）当0???

1时，试比较?2?f(k)?n?与4的大小，并说明理由．

k?1n参考答案

一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分。 1—6：ADCACC 1—12：BBDCAB

二、填空题：本题考查基础知识和和基本运算。每小题4分，满分16分。 （13）?

160

x

（14）23

（15）

3 4（16）①②

三、解答题

（17）本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考

查运用所学知识与方法解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么

P(A)?P(B)?P(C)?

1,61525P(A?B?C)?P(A)P(B)P(C)??()2?.66216答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是

25…………（6分） 216 （Ⅱ）?的可能取值为0，1，2，3。

15P(??k)?C34()k()3?k,k?0,1,2,3. 66所以中奖人数?的分布列为?

P

0 1 2 3

255125

727221612525511E??0??1??2??3??…………（12分）

21672722162.1 216（18）本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知

识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 （Ⅰ）连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK。

因为点M是棱AA?的中点，点O是BD?的中点，

∥ = 1所以AM DD? ∥ OK =

2所以MO ∥ AK =

AA??AK,得MO?AA?,

因为AK?BD,AK?BB?,所以AK?平面BDD?B?, 所以AK?BD?.所以BO?BD?.又因为OM与z异面直线AA?和BD?都相交,

故OM为异面直线AA?和BD?的公垂线。……（4分）

（Ⅱ）取BB?的中点N,连结MN,则MN?平面BCC?B?,

过点N作NH?BC?于H,连结MH,

则由三垂线定理得，BC??MH.

. 从而，?MHN为二面角M?BC??B?的平面角

122??.224 MN1在Rt?MNH中,tanMHN???22.NH24MN?1,NH?BNsin45??故二面角M?BC??B?的大小为atctan22.……………………（9分）

（Ⅲ）易知，

S?DBC?S?OCB,且?OBC和?OA?D?都在平面BCD?A?内,点O到平面MA?D?

1的距离h?.

211VM?OBC?VM?OA?D??VO?MA?D??SΔΔA?D?h?.…………（12分）

324解法二

以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz,

（Ⅰ）因为点M是棱AA?的中点,点O是BD?的中点,

所以M(1,0,),O(,

1111,,),

222211OM?(,?,0),AA??(0,0,1),BD??(?1,?1,1)2211OM?AA??0,OM?BD?????0?0,22 所以OM?AA?,OM?BD?,又因为OM与异面直线AA?和BD?都相交,故OM为异面直线AA?和BD?的公垂线.

………………（4分）

（Ⅱ）设平面BMC?的一个法向量为n1?(x,y,z).

1BM?(0,?1,),BC??(?1,0,1),

2

1???n1?BM??0,??y?z?0,即? 2???n1?BC??0,???x?z?0.取z?2,则z?2,y?1,从而n1?(2,1,2).取平面BC?B?的一个法向量为n2?(0,1,0),

cos(n1?n21???.9?13n1?n2n1?n21

由图可知,二面角M?BC??B?的平面角为锐角.1故二面角M?BC??B?的大小为arccos.………………（9分）

3112SΔCDA???1?2?. 444

（Ⅲ）易知，S?OBC?

设平面OBC的一个法向量为n1?(x1,y1,z1),BD??(?1,?1,1),BC??(?1,0,0)

??n1?BD??0,??x1?y1?z1?0,即? ??x?0.??n3?BC?0.?1取z1?1,则y1?1,从而n3?(0,1,1). 点M到平面OBC的距离

1BM?n11d??2?.

222n3

11211VM?ABC?SΔOBC?d????.………………（12分）

3342224（19）本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及

运算能力。

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角a,?与??,使角a的始边

为Ox,交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角?的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角

??的始边为OP2，终边交⊙O于点P4。

则P1(1,0),P2(cosa,sina),

P3(cos(a??),sin(a??),P4(cos(??),sin(??).

由P1P3?P2P4及两点间的距离公式,得 [cos(a??)?1]2?sin2(a??)?[cos(??)?cosa]2?[sin(??)?sina]2展开并整理，得2?2cos(a??)?2?2(cosacos??sinasin?).

?cos(a??)?cosacos??sinasin?.…………（4分）

②由①易得，cos(?a)?sina,sin(??22?a)?cosa.

sin(a??)?cos[?(a??)]?cos[(?a)?(??)]

22?cos(?a)cos(??)?sin(?a)sin(??) 22?sinacos??cosasin?.????

?sin(a??)?sinacos??cosasin?.…………（6分）