2019届江苏高考数学一轮复习专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题

【考点自测】

x2y25

1．(2017·全国Ⅲ改编)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭

ab2x2y2

圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为______________． 123x2y2

答案 －＝1

45解析 由y＝

5b5x，可得＝.① 2a2

x2y2

由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，

123可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. x2y2

所以C的方程为－＝1.

45

x2y2

2．(2017·全国Ⅲ改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2

ab为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________． 答案

6 3

解析 由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝b1∴＝， a3a2－b2c∴e＝＝＝aa

b?2

1－??a?＝

1－?

2ab

＝a，解得a＝3b， a2＋b2?

1?26

＝. 33?

x2y2

3．(2018届阜宁中学质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2

k＋2k＋1的周长为8，则椭圆的离心率为________． 答案

1 2

解析 由已知及椭圆定义可得4a＝8，从而a＝2， c1

又c＝k＋2－?k＋1?＝1，所以e＝＝.

a2

x2y2

4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

73答案 210

解析 由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝210.

x2y2

5．(2018届江苏盐城中学调研)已知椭圆2＋＝1(a>3)的中心、右焦点、右顶点依次为O，F，

a3a2FG

G，直线x＝2与x轴交于H点，则取得最大值时，a的值为________．

OHa－3答案 2

解析 设半焦距为c，则c＝a2－3， 由题意得，

FGa－cc?c?21

＝2＝－?a?≤， OHaa4

c

c1

当＝时取等号， a2

又a2－c2＝3，所以a＝2.

题型一 求圆锥曲线的标准方程

x2y2

例1 设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若BF2＝F1F2＝2，则该

ab椭圆的方程为________． x2y2

答案 ＋＝1

43

解析 ∵BF2＝F1F2＝2，∴a＝2c＝2，

x2y2

∴a＝2，c＝1，∴b＝3，∴椭圆的方程为＋＝1.

43

思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．

x2y2

跟踪训练1 已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－

ab2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为________． y2

答案 x－＝1

3

2

x2y2

解析 双曲线2－2＝1的一个焦点为F(2,0)，

ab则a2＋b2＝4，①

b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

a由题意得

2b

＝3，② a2＋b2联立①②解得b＝3，a＝1，

y2

所求双曲线的方程为x－＝1.

3

2

题型二 圆锥曲线的几何性质

例2 (1)已知圆E：(x－3)2＋(y＋m－4)2＝1(m∈R)，当m变化时，圆E上的点与原点O的最短距x2y2

离是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率，则双曲线C的渐近线为________．

ab答案 y＝±3x

解析 圆E的圆心到原点的距离d＝32＋?4－m?2，

由此可得，当m＝4时，圆E上的点与原点O的最短距离是dmin＝3－1＝2， c

即双曲线的离心率为e＝＝2，

ac2－a2b

由此可得＝＝3，

aa

x2y2b

双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x＝±3x.

aba

x2y2

(2)(2018届无锡南菁高级中学质检)已知F是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是

ab1

椭圆上一点，PF⊥x轴．若PF＝AF，则该椭圆的离心率是________．

4答案

3 4

解析 由题意得，A(a,0)，F(－c,0)． b2

∵PF⊥x轴，∴PF＝.

a1b21

∵PF＝AF，∴＝(a＋c)，

4a4即(3a－4c)(a＋c)＝0，

c3

∵a，c>0，∴3a－4c＝0，∴e＝＝.

a4

思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．

x2y2跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝

ab4所截得的弦长为2，则C的离心率为________． 答案 2

b

解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

a圆的圆心为(2,0)，半径为2，

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝3.

|2b|c

根据点到直线的距离公式，得2＝3，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝＝2aa＋b＝2.

题型三 最值、范围问题

c2＝a2b21＋2a

y2x2

例3 设椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长

ab轴长为4.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．

解 (1)双曲线的离心率为2， c2则椭圆的离心率e＝＝，

a2

??c2由?＝，a2??b＝a－c，

2

2

2

2a＝4，

?a＝2，

?

可得?c＝2，

??b＝2，

y2x2

故椭圆M的方程为＋＝1.

42

??y＝2x＋m，(2)由?x2y2得4x2＋22mx＋m2－4＝0，

??2＋4＝1，

由Δ＝(22m)2－16(m2－4)>0，得－22

则x1＋x2＝－m，x1x2＝，

24∴AB＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2 ＝3·?x1＋x2?2－4x1x2

12m22

＝3·m－m＋4＝3·4－.

22又P到直线AB的距离d＝

|m|

， 3

11m2|m|

则S△PAB＝·AB·d＝·3·4－·

22231

＝ 2

m1224－?＝m?m?8－m? 2??22

2

222

1m＋?8－m?≤·＝2，

222

当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号，