九年级数学复习教案：图形的相似与全等

∴△MDE≌△MAC.

∴∠DME=∠AMC，ME=MC. 又∠DME+∠EMA=90o， ∴∠AMC+∠EMA=90o. ∴MC⊥EM.

∴△EMC的形状是等腰直角三角形.

【说明】构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径.构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度.会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性.在问题中创设三角板为情境也是考题的一个热点.

例4 如图，已知∠MON=90o，等边三角形ABC的一个顶点A是射线OM上的一定点，顶点B与点O重合，顶点C在∠MON内部.

（1）当顶点B在射线ON上移动到B1时，连结AB1为一边的等边三角形AB1C1（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）设AB1与OC交于点Q，AC的延长线与B1C1交于点D.求证： AC?AD?AB1?AQ；（3）连结CC1，试猜想∠ACC1为多少度？并证明你的猜想.

【分析】用尺规作图画出符合题意的等边三角形AB1C1是对问题（2）研究的关键.分别以A、B1两点为圆心，AB1长为半径作弧，两弧的交点即为点C1.然后把等积式改写比例式，找出所需的两个相似三角形. 【解】 （1）如图所示； 【证明】（2）∵△AOC与△AB1C1等边三角形，

M C1 ∴∠ACB=∠AB1D=60o.

又∵∠CAQ=∠B1AD, ∴△ACQ∽△AB1D； A ?ACAQ?,AB1AD

C Q D 即AC?AD?AQ?AB1.O B1 N (3) 猜想∠ACC1=90o. （B） 证明:∵△AOC和△AB1C1为正三角形,AO=AC，AB1=AC1， ∴∠OAC=∠C1AB1，

∴∠OAC-∠CAQ=∠C1AB1-∠CAQ，∴∠OAB1=∠CAC1 .∴△AO B1 ≌ △AC C1. ∴∠ACC1=∠AOB1=90o.

【说明】问题中要求学生画出正△AB1C1，是对学生理解能力和动手能力的考验,教材中安排的五种基本作图，教学中应当给予一定的重视.同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角，再根据所推断出的目标，去证明猜想是正确的.这样既培养学生的合情推理能力，也给了学生一个探索的平台.

例5 (1)已知如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60o.

x_k_b_1

求证：①AC=BD,②∠APB=60o. (2) 如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD, ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为_____________.

(3) 如图③，在△AOB和△COD中，OA=kOB,OC=kOD(k>1), ∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的等量关系式为_________________；∠APB的大小为_____________.

D O

O O D D

A C C

C P B P

A P A B B

③ ① ②

【分析】要证AC=BD，在图①可以找AC 与BD所在的两个三角形全等。即证明△AOC

≌△BOD可以解决.求∠APB的度数可以通过三角形内角和转化成∠AOB的度数. (2)、 (3)题的答案，可以“复制”（1）题中的解题思路来完成. 【证明】∵△AOB和△COD为正三角形,

∴OA=OB， OD=OC，∠AOB=60o，∠COD=60o.

∵∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，∴∠AOC=∠BOD. ∴△AOC≌△BOD ，∴AC=BD.∴∠OAC=∠OBD， ∴∠APB=∠AOB= 60o.

(2)AC与BD间的等量关系式为AC=BD；∠APB的大小为α.

(3)AC与BD间的等量关系式为AC=kBD；∠APB的大小为180o-α. 【说明】三个问题的设计是一个逐步深入的过程,有特殊到一般的过程,图形的展示是一个动态过程,但在变化中却蕴含着不变的事项,例如解决问题时都用到了△AOC和△BOD，都用到了三角形内角和定理来决定∠APB与α的大小关系. (2) 、(3)小题的解决思路可从题(1)中吸取.这也是这样一类变式题常用的思维方法.

2

例6 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图(1),乙设计的方案如图(2) . 你认为那位同学设计的方案较好？试说明理由.（加工损耗忽略，计算结果可保留分数） 【分析】方案(1),设正方形的边长为x m，通过相似三角形对应边成比例建立方程,求出边长.

方案(2), 设正方形的边长为xm,通过相似三

C 角形对应高的比等于相似比建立方程, 求出边长.

【解】方案(1)：有题意可知, DE∥BA， B E D E D P

w w w .x k b 1.c o m

B

F (1)

A A

G H F (2)

C

得△CDE∽△CBA.∴

x2?x6?,x?.； 1.527方案(2):作BH⊥AC于H. DE∥AC，得△BDE∽△BAC. ∴

630x1.2?x30,∴如图(1)加工出的正方形面积大. ?,x?.∵?7372.51.237综上所得，甲同学设计的方案较好.

【说明】利用相似三角形的性质解决实际问题，让学生感受生活中的数学.在解决几何中相关的一些计算问题时往往可以转化方程来讨论.当然在教学中可将问题改成：请你给出设计方案，并加于说明.” 这样更突出了问题的探究性，让学生自主探究也是新课标所倡导的. 【复习建议】

1、在复习中注重分析方法的培养，既能对已知条件能够展开丰富的联想，又能反推解决目标问题所需的条件.多注重与学生思维分析上交流的，抓住问题的“思考点” . 学好图形相似和全等是掌握平行四边形、圆知识的关键. 新 课 标 第 一 网 2、在复习相似这一单元的计算题方面，要善于利用相似三角形的相关知识建立方程. 通过方程将某些几何问题转化为代数问题来解答.

3、在复习相似与全等这一单元的证明题方面，要突出转化的数学思想，通过转化寻找量和量之间的关系，关系在于运动.

4、相似与全等的复习中要进行变式（图）训练，例如改变问题设问的方式，猜想在什么条件下，可以得出结论.或者在已有的条件下猜想可以获得怎样的结论？可以改变原图形的构造，生产出新的状态下的图形，再问原来的结论还成立吗？并说明理由.这样将一个静态的几何问题演变为一个动态的几何问题.

5、加强图形相似和全等之间的联系，并关注相似与其他知识的联系.例如联系平行四边形、圆的有关内容，联系求动点在运动过程中生成函数图象的问题（综合题），联系河的宽度，塔的高度测量等实际问题.

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