2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题3-1导数的概念及其运算(讲)

2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

【变式2】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 ( )

A．y＝－2x C．y＝2x 【答案】D

【解析】法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.

又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，

即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数， ∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.

【举一反三】(2018·全国Ⅱ卷)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 2【解析】由题意得y′＝.在点(0，0)处切线斜率k＝y′|x＝0＝2.∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线

x＋1方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.

【答案】y＝2x

考点三 定积分的计算

?B．y＝－x D．y＝x

【典例3】（福建省上杭第一中学2018-2019学年期中）计算A．

?20(cosx?ex)dx为( )

D．

e?2 B．

?e2?2 C．

?e2?1

e2?1

?【答案】A

??【解析】

?20(cosx?e)dx?(sinx?e)|?sin20xx?2?2??e?1?e2，故选A。

【方法技巧】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；

(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.

【变式3】（福建省宁德市高中同心顺联盟校2018-2019学年期中）已知函数f(x)??x?0?2,则

?cosxx?0???1f(x)dx的值等于（ ）

A．1 【答案】C

【解析】由题意，函数f(x)??12B．2 C．3 D．4

x?0?2，

cosxx?0?f(x)dx???cosxdx??2dx?sinx|0??2x|1 0?1?2?3，故选C。

?20?201根据定积分的运算性质，可得

???2考点四 定积分的几何意义

【典例4】（甘肃兰州一中2018-2019学年期中） 由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4围成的平面图形的面积为________.

2??y＝2x，

【解析】如图所示，解方程组?得两交点为(2，－2)，(8，4).

?y＝x－4，?

法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝2?22xdx

?0

＋?8(2x－x＋4)dx＝18.

?2

1

y＋4－y2?dy＝18. 法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝?4?2??

?－2

【答案】18 【方法技巧】

1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.

2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).

　2【变式4】（安徽省马鞍山二中2018-2019学年期中）A．? 【答案】A 【解析】令y?积分的值为

B．2?

C．3?

?4?x2dx＝（ ）

D．4?

　04?x，画出图像，由定积分的几何意义可得：所求即为右上21圆的面积，故所求定41???22??。 4

考点五 定积分在物理中的应用

【典例5】（河北省衡水第一中学2018-2019学年调研）物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为( )

A.3 【答案】C

【解析】(1)因为物体A在t秒内行驶的路程为?t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路程为?t10tdt.

B.4

C.5

D.6

?0?0

所以?

?0

t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)

?＝t3＋t－5t2＝5.

??0

t

整理得(t－5)(t2＋1)＝0，解得t＝5. 【方法技巧】

(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的位移s＝?bv(t)dt.

?a

(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝?bF(x)dx.

?a

【变式5】（福建武平第一中学2018-2019学年期中）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋位：m)是( )

A.1＋25ln 5 C.4＋25ln 5 【答案】C

8

【解析】令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，

325

∴汽车行驶距离s＝?4?7－3t＋1＋t?dt

B.8＋25ln

11 3

25

(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单1＋t

D.4＋50ln 2

?0?

?

3

7t－t2＋25ln（1＋t）??＝? 2????0＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).

4