2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1-1-1~1-1-2 含答案 精品

3

?2＋Δt?2－232＝lim＝23.

ΔtΔt→0三、解答题

11．若函数y＝f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的取值范围．

解 ∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为 Δyf?2＋Δx?－f?2?

＝ ΔxΔx

－?2＋Δx?2＋?2＋Δx?－?－4＋2?＝ Δx＝－3－Δx，

∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.

又∵Δx>0，∴Δx的取值范围是(0，＋∞)．

12．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋2＝g′(x0)的x0的值． 解 由导数的定义知，

?x0＋Δx?2－x20

f′(x0)＝lim＝2x0，

ΔxΔx→0?x0＋Δx?3－x30

g′(x0)＝lim＝3x20. →ΔxΔx0因为f′(x0)＋2＝g′(x0)，

2所以2x0＋2＝3x20，即3x0－2x0－2＝0.

1－71＋7解得x0＝或x0＝. 33

2

13．某一运动物体，在x(s)时离出发点的距离(单位：m)是y＝f(x)＝x3＋x2＋2x.

3(1)求在第1s内的平均速度； (2)求在1s末的瞬时速度；

(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14m/s?

f?1?－f?0?11

解 (1)物体在第1s内的平均变化率(即平均速度)为＝m/s.

31－0Δyf?1＋Δx?－f?1?

(2)＝ ΔxΔx

211?1＋Δx?3＋?1＋Δx?2＋2?1＋Δx?－33＝ Δx2

＝6＋3Δx＋(Δx)2.

3

Δy

当Δx→0时，→6，

Δx

所以物体在1s末的瞬时速度为6m/s. Δyf?x＋Δx?－f?x?(3)＝ ΔxΔx

22

?x＋Δx?3＋?x＋Δx?2＋2?x＋Δx?－?x3＋x2＋2x?33＝ Δx2

＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.

3Δy

当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，

Δx令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2， 即经过2s该物体的运动速度达到14m/s. 四、探究与拓展

14.如图所示，物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t0到t1范围内甲的平均速度________乙的平均速度．(填“等于”、“大于”或“小于”)

答案 等于 大于

解析 由图可知，在[0，t0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t0，t1]上，甲的平均速度大于乙的平均速度．

15．跳水运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.

65

(1)求运动员在[0，]这段时间内的平均速度；

4965

(2)运动员在[0，]这段时间内是静止的吗？

49

(3)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？ 65

h??－h?0?49

解 (1)v＝ 65－049

6565

－4.9×??2＋6.5×＋10－10

4949

＝＝0(m/s)，

65－049

65

即运动员在[0，]这段时间内的平均速度是0m/s.

49(2)运动员在这段时间里显然不是静止的．

(3)由上面的计算结果可以看出，平均速度并不能反映出运动员的运动状态，特别是当运动的方向改变时．

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