2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1-1-1~1-1-2 含答案 精品

C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速率

D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率 答案 C

解析 由导数的定义可得．

3．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为________． 答案 16 解析 f′(3)＝lim→

Δx

Δy

0Δx

2?3＋Δx?2＋4?3＋Δx?－?2×32＋4×3?＝lim＝16.

ΔxΔx→0

4．如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．

答案 [x3，x4]

解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化f?x2?－f?x1?f?x3?－f?x2?f?x4?－f?x3?

率分别为，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率

x2－x1x3－x2x4－x3最大的一个区间是[x3，x4]．

a

5．已知函数f(x)＝在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．

x答案 2

a

－a1＋Δx－a

解析 f′(1)＝lim＝lim＝－a.

ΔxΔx→0Δx→01＋Δx由题意知，－a＝－2，∴a＝2.

利用导数定义求导数三步曲：

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δyf?x0＋Δx?－f?x0?

(2)求平均变化率＝；

ΔxΔx(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim→

Δx

Δy

. 0Δx

简记为一差，二比，三极限．

Δy

特别提醒：①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.

Δx②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．

③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．

课时作业

一、选择题

1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为( ) A．－6 C．－2 答案 B

解析 设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，

Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx， Δy

所以＝Δx－6，所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.

Δx

2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( ) A．－3B．3C．6D．－6 答案 D

解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t＝1时的瞬时速度为s′＝li m (－3Δt→

Δt0

B．Δx－6 D．Δx－2

－6)＝－6.

3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( ) A．2B．－2C．3D．－3 答案 C

解析 ∵f′(1)＝lim→

Δx

f?1＋Δx?－f?1?

Δx0

＝lim→

Δx

a?Δx＋1?＋3－?a＋3?

＝a，

Δx0

∵f′(1)＝3，∴a＝3.

4.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，则治污效果较好的是( )

A．甲 C．相同 答案 B

解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，

B．乙 D．不确定

但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)

W1?t0?－W1?t0－Δt???W2?t0?－W2?t0－Δt??ΔtΔt??

所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂治污效果较好．

5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足lim→

Δx

f?Δx?

＝－1，则f′(0)等于( ) 0Δx

A．－2 C．1 答案 B

B．－1 D．2

解析 ∵f(x)图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f′(0)＝lim→

Δx

f?0＋Δx?－f?0?f?Δx?

＝lim＝－1，

Δx0Δx→0Δx

故选B.

6．物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A．t＝1 C．t＝3 答案 B

解析 设在t0时刻速度为0， 则s′(t0)＝lim→

Δt

B．t＝2 D．t＝4

s?t0＋Δt?－s?t0?

Δt0

－4?t0＋Δt?2＋16?t0＋Δt?＋4t20－16t0

＝lim ΔtΔt→0＝lim (－8t0＋16－4Δt) →

Δt0

＝－8t0＋16＝0， ∴t0＝2. 二、填空题

7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________________．

答案 v1

解析 v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，

由图象知，kOA

8．函数y＝f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝________. 答案 5

22

Δyf?t?－f?－2?t－t－?－2?－2

解析 函数f(x)＝x－x在区间[－2，t]上的平均变化率是＝＝＝

Δxt－?－2?t＋2

2

2，

即t2－t－6＝2t＋4，t2－3t－10＝0， 解得t＝5或t＝－2(舍去)．

所以，当函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5. 1

9．对于函数y＝f(x)＝2，其导数值等于函数值的点是________．

x1

答案 (－2，) 4解析 f′(x0)＝lim→

Δx

f?x0＋Δx?－f?x0?

Δx0

11

2－2?x0＋Δx?x0

＝lim

ΔxΔx→02

＝－3. x0

21

由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－3＝2，

x0x01

解得x0＝－2，从而y0＝.

4

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．

答案 23

解析 由AB＝OB2－OA2＝3t， 113∴S(t)＝·OA·AB＝t·3t＝t2，

222∴S′(2)＝lim→

Δt

S?2＋Δt?－S?2?

Δt0