2018版数学人教A版选修2-2学案：第一章 导数及其应用 1-1-1~1-1-2 含答案 精品

1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念

学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．

知识点一 函数的平均变化率

假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．

思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？ 答案 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy. 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路AB来说，用

Δyy2－y1

＝可近似地刻画其陡峭程度． Δxx2－x1

Δyf?x2?－f?x1?

思考3 观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？

Δxx2－x1

Δy

答案 观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．

Δx梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 Δyf?x2?－f?x1?

(1)定义式：＝.

Δxx2－x1

(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率f?x2?－f?x1?

＝表示割线P1P2的斜率．

x2－x1

知识点二 瞬时速度

思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度． Δs

答案 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，v＝＝10＋5Δt.

Δt

思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ Δs

答案 当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．

Δt梳理 瞬时速度

(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

Δs

(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝

Δts?t0＋Δt?－s?t0?Δs

.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0

ΔtΔtΔsΔs时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝lim＝lim

ΔtΔt→0ΔtΔt→0s?t0＋Δt?－s?t0?

.

Δt

知识点三 函数在某点处的导数 对于函数f(x)＝－x2＋1. 思考 如何求f′(x0)?

－?x0＋Δx?2＋1－?－x20＋1?

答案 f′(x0)＝lim ΔxΔx→0

Δy

Δx

＝lim (－2x0－Δx)＝－2x0. →

Δx0

梳理 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim→

Δt

f?x0＋Δx?－f?x0?Δy

＝lim，我们称它为函数y

Δx0ΔxΔt→0

Δt

＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim→

f?x0＋Δx?－f?x0?Δy

＝lim. Δx0ΔxΔt→0

类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数y＝f(x)＝2x2＋3x－5.

①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率

Δy

； Δx

Δy

②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率.

Δx

1

(2)求函数y＝f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变化

3率最大？

解 (1)因为f(x)＝2x2＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)

＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x21＋3x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.

2

Δy2?Δx?＋?4x1＋3?Δx＝＝2Δx＋(4x1＋3)． ΔxΔx

①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，

Δy

Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝2＋19＝21，＝21.

Δx②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92. Δy

＝2Δx＋(4x1＋3)＝19.2. Δx

(2)在x＝1附近的平均变化率为 f?1＋Δx?－f?1??1＋Δx?2－1k1＝＝

ΔxΔx＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均变化率为 f?2＋Δx?－f?2??2＋Δx?2－22

k2＝＝

ΔxΔx

＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均变化率为 f?3＋Δx?－f?3??3＋Δx?2－32k3＝＝

ΔxΔx＝6＋Δx.

117

当Δx＝时，k1＝2＋＝，

333113119

k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.

3333

由于k1

(3)得平均变化率＝. Δxx2－x1

跟踪训练1 (1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1Δy

＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.

Δx

(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

13

答案 (1)Δx (2)

24

Δyf?－1＋Δx?－f?－1?

解析 (1)＝

ΔxΔx?－1＋Δx?2＋2?－1＋Δx?－5－?－6?

＝

Δx＝Δx.

(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为 f?1?－f?－1?2－11

＝＝. 221－?－1?

x＋3??，－1≤x≤1，

由函数f(x)的图象知，f(x)＝?2

??x＋1，1