2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+八十+证明不等式的基本方法

核心素养测评 八十

证明不等式的基本方法

(20分钟 40分)

1.(10分)已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:【证明】因为a>0,b>0,a+b=2, 所以===

+

-1

+

≥1.

==

= .

,所以ab≤1.

因为a+b=2≥2所以所以

+

≥0. ≥1.

2.(10分)(2020·桂林模拟)已知正数a,b满足+=1. (1)证明:

≤ab.

(2)若存在实数x,使得-=a+b,求a,b. =4+++

【解析】(1)因为4a+b=(4a+b)≥4+2

+=,

≤1, ?ab≥1,

又1=+≥2所以

≤ab.

(2)因为|x+2|-|x-|≤|(x+2)-(x-)|=, 当且仅当又a+b=(a+b)≥1++2

=,

,即x≥时,等号成立; =1+++

当且仅当=即a=2b时,等号成立, 所以

?a=,b=.

3.(10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则(2)

+

>

+

+

>

+

.

是|a-b|<|c-d|的充要条件.

【证明】(1)因为a,b,c,d为正数,且a+b=c+d,

欲证a+b+2

+>+,只需证明(,

+)2>(+)2,也就是证明

>c+d+2>

只需证明,即证ab>cd.

+

>

+

.

由于ab>cd成立,因此(2)①若|a-b|<|c-d|, 则(a-b)2<(c-d)2,

即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(1)得②若则(

++

+>)2>(

>+++, )2,

. .

所以a+b+2>c+d+2

因为a+b=c+d,所以ab>cd.

于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|. 综上,

+

>

+

是|a-b|<|c-d|的充要条件.

4.(10分)设函数f(x)=|x-2|+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M. (1)求M.

(2)当x∈M时,求证:x[f(x)]2-x2f(x)≤0. 【解析】(1)由已知,得f(x)=当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1, 解得x≤0,此时x≤0; 当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1, 解得x≤,显然不成立.

故f(x)≤-1的解集为M={x|x≤0}. (2)当x∈M时,f(x)=x-1, 于是x[f(x)]2-x2f(x) =x(x-1)2-x2(x-1) =-x2+x =-令g(x)=-+.

+,

则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数, 所以g(x)≤g(0)=0. 故x[f(x)]2-x2f(x)≤0.

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