文科高考几种常见圆锥曲线问题（教师解析版）doc

文科高考几种常见圆锥曲线问题

一、圆锥曲线概念、性质类问题

x2y2x2y2?2?1和双曲线?2?1有公共的焦点， 1.已知椭圆223m5n2m3n那么双曲线的渐近线方程是 （ ）

(A)x??151533y (B)y??x (C)x??y (D)y??x 2244?2.设??(0,)，则二次曲线x2cotθ-y2tanθ=1的离心率的取值范围为（ ）

41122(A)(0,) (B)(, ) (D)(2) (C)(,2??, )22223.已知双曲线

x2a2?y2b2?1(a?0,b?0)的右焦点为F,若以F为圆心的圆x2?y2?6x?5?0与此

双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 .答案：35 5|PF1?PF2|x2y2F2分别是椭圆?4.已知F1、右焦点, 点P是椭圆上的任意一点, 则?1的左、

PF184的取值范围是 ．答案：[0,22?2]

x2y25.双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,

ab则双曲线离心率的取值范围为

运用函数思想求解离心率

x2y26：设a?1，则双曲线2??1的离心率e的取值范围是

a(a?1)2二、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P(x0,y0)到两焦点F1,F2的距离分别为r1,r2，焦点?F1PF2的面积为S，

（1）短轴长为5，离心率e?2的椭圆的两焦点为F1、F2，过F1作直线交椭圆于A、B3两点，则?ABF2的周长为________（答：6）；

（2）设P是等轴双曲线x2?y2?a2(a?0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2?F1F2?0，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：x2?y2?4）；

x2y2→ ·PF→ <0时，点P?1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当PF（3）椭圆?21

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的横坐标的取值范围是

3535； ,)）

55三、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在

（答：(?b2x0x2y2x2y2椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；在双曲线2?2?1ababay0b2x0中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；在抛物线y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)ay0p为中点的弦所在直线的斜率k=。

y0x2y2?1弦被点A（1）如果椭圆?（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：369x?2y?8?0）； x2y2（2）已知直线y=－x+1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于A、B两点，且线段AB的中点在

ab2直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______（答：）；

2

2

四、直线和圆锥曲线关系类问题

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c?0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；

解：由题意，可设椭圆的方程为x2y2(I)a2?b2?1(a?2).

由已知得

?a2??c2?2,? ??c?2(a2c?c).

解得 a?6,c?2.

所以椭圆的方程为x2y26?2?1，离心率e?63.

(II)解： 由(I)可得A(3,0).

设直线PQ的方程为y?k(x?3).由方程组

?x2y2???1 ?6?2?y?k(x?3)

得

(3k2?1)x2?18k2x?27k2?6?0. 依题意

??12(2?3k2)?0,得

?63?k?63.

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则

18k2

x1?x2?3k2?1, 27k2

x?61.x2?3k2?1. 由直线PQ的方程得 y1?k(x1?3),y2?k(x2?3).于是

3

① ② 22yy?k(x?3)(x?3)?k[x1x2?3(x1?x2)?9]. ③ 1212

OPOQ.?0,?x1x2?y1y2?0. ④ 由①②③④得5k2?1,从而k??所以直线PQ的方程为

x?5y?3?0或x?5y?3?0.

五、与圆锥曲线有关的轨迹类问题

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如图，P是抛物线C：y=x上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

2若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程； . 解：（Ⅰ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x1≠0，y1>0，y2>0.

1由y=x2， ①

2得y＇=x.

∴过点P的切线的斜率k切= x1，∴直线l的斜率kl=－

111，∴直线l的方程为y－x12=－ (x－x1)，

2x1x1566?(?,). 5331=k切－

方法一：联立①②消去y，得x2+

x1?x21=-， 2x12x－x12－2=0.∵M是PQ的中点 x1 x0=

∴ y0=

1211x1－(x0－x1).消去x1，得y0=x02++1(x0≠0)， 22x12x0∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2+

12x02+1(x≠0).

方法二：由y1=得y1－y2=

x?x2121x1，y2=x22，x0=1， 22212121x1－x2=(x1+x2)(x1－x2)=x0(x1－x2)， 222 4