2020年高考数学一轮复习专题4.7真题再现练习(含解析)

（2）若S5＝则若S5＝1+λ[即（则

）＝＝﹣

5

，

（?﹣1＝﹣

）]＝，

4

，

，得λ＝﹣1．

，anbn+1+bn+1＝nbn．

36．（2016?新课标Ⅰ）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）求{bn}的前n项和． 【答案】（1）an＝3n﹣1， （2）【解析】（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1＝nbn． 当n＝1时，a1b2+b2＝b1． ∵b1＝1，b2＝∴a1＝2，

又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an＝3n﹣1，

（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1＝nbn． 即3bn+1＝bn．

即数列{bn}是以1为首项，以

为公比的等比数列，

，

﹣

．

∴{bn}的前n项和Sn＝＝（1﹣3）＝

﹣n﹣．

37．（2016?新课标Ⅲ）已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，an﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1＝0． （1）求a2，a3； （2）求{an}的通项公式． 【答案】见解析

【解析】1）根据题意，an﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1＝0， 当n＝1时，有a1﹣（2a2﹣1）a1﹣2a2＝0，

2

2

2

而a1＝1，则有1﹣（2a2﹣1）﹣2a2＝0，解可得a2＝当n＝2时，有a2﹣（2a3﹣1）a2﹣2a3＝0， 又由a2＝故a2＝

，解可得a3＝，a3＝

；

22

，

，

（2）根据题意，an﹣（2an+1﹣1）an﹣2an+1＝0， 变形可得（an﹣2an+1）（an+1）＝0， 即有an＝2an+1或an＝﹣1， 又由数列{an}各项都为正数， 则有an＝2an+1，

故数列{an}是首项为a1＝1，公比为则an＝1×（故an＝（

））

n﹣1

n﹣1

的等比数列，

＝（）

n﹣1

，

．

38．（2016?新课标Ⅱ）等差数列{an}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6． （Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2． 【答案】（1）an＝

；（2）24

【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3+a4＝4，a5+a7＝6． ∴

，

解得：，

∴an＝；

（Ⅱ）∵bn＝[an]， ∴b1＝b2＝b3＝1，

b4＝b5＝2，

b6＝b7＝b8＝3， b9＝b10＝4．

故数列{bn}的前10项和S10＝3×1+2×2+3×3+2×4＝24．

39．（2016?新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1． （Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和． 【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，7a4＝28． 可得a4＝4，则公差d＝1．

an＝n，

bn＝[lgn]，则b1＝[lg1]＝0， b11＝[lg11]＝1， b101＝[lg101]＝2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1＝b2＝b3＝…＝b9＝0，b10＝b11＝b12＝…＝b99＝1．

b100＝b101＝b102＝b103＝…＝b999＝2，b10，00＝3．

数列{bn}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3＝1893． 40．（2014?新课标Ⅱ）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1． （Ⅰ）证明{an+（Ⅱ）证明：【答案】见解析

}是等比数列，并求{an}的通项公式； +

+…+

＜

．

【解析】证明（Ⅰ）＝＝3，

∵∴数列{an+∴an+

＝

≠0， }是以首项为

＝

，公比为3的等比数列； ，即

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1

，∴

∴当n＝1时，

成立，

当n≥2时，++…+＜1+∴对n∈N+时，++…+＜．

＜

＝

…+＝，

＝＜．