中考数学压轴题专项汇编： 专题24 特殊平行四边形的存在性

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中考数学压轴题专项汇编： 专题24 特殊平行四边形的存在

性

破解策略

在平行四边形的基础上增加一些条件，即可得到特殊的平行四边形

因而可以结合”等腰三角形的存在性”，”直角三角形的存在性”和”平行四边形的存在性”来解决这类问题． 例题讲解

例1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由． 解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形． 令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4， 所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）．

因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1． ①若AC是矩形的一条边，如图，

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则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）． 同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）． 因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2， 解得，此时点P的坐标为（1，）②若AC是矩形的一条对角线，如图．

则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）． 同样yA＋yC＝yP＋yQ，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）． 因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2， 算得，所以此时点P的坐标为（1，－4）

综上可得，以点A，C，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．

例2：如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的中心与原点重合，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．

（1）菱形ABCD的边长是_____，面积是_____，高BE的长是_____; （2）若点P的速度为每秒1个单位．点Q的速度为每秒k个单位．在运动过程中，任何时刻都有对应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值． 解：（1）5，24，4．8．

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