2018年中考复习数学《圆的证明与计算》专项检测(含答案)

【解法提示】∵∠APC＝∠CPB＝60°，

又∵∠BAC和∠CPB是同弧所对的圆周角，∠ABC和∠APC是同弧所对的圆周角，

∴∠BAC＝∠CPB＝60°，∠ABC＝∠APC＝60°， ∴∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴AC＝BC，

又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC是等边三角形． (2)PA＋PB＝PC.

证明如下：如解图①，在PC上截取PD＝PA，连接AD， ∵∠APC＝60°， ∴△PAD是等边三角形， ∴PA＝AD＝PD，∠PAD＝60°， 又∵∠BAC＝60°， ∴∠PAB＝∠DAC， 在△PAB和△DAC中， AP＝AD??

∵?∠PAB＝∠DAC， ??AB＝AC∴△PAB≌△DAC(SAS)， ∴PB＝DC， ∵PD＋DC＝PC， ∴PA＋PB＝PC，

︵

(3)当点P为AB的中点时，四边形APBC的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P作PE⊥AB，垂足为E，

第5题解图①

第5题解图②

过点C作CF⊥AB，垂足为F， 11

∵S△PAB＝2AB·PE，S△ABC＝2AB·CF， 1

∴S四边形APBC＝2AB·(PE＋CF)．

︵

当点P为AB的中点时，PE＋CF＝PC，PC为⊙O的直径， 此时四边形APBC的面积最大， 又∵⊙O的半径为1，

∴其内接正三角形的边长AB＝3 ， 1

∴四边形APBC的最大面积为2×2×3＝3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练

1. (1)证明：连接OE，如解图， ∵AB＝BC且D是AC中点， ∴BD⊥AC， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∴∠OEB＝∠DBE， ∴OE∥BD，

第1题解图

∵BD⊥AC， ∴OE⊥AC， ∵OE为⊙O半径， ∴AC与⊙O相切；

3

(2)解：∵BD＝6，sinC＝，BD⊥AC， 5∴BC＝BD

sinC＝10， ∴AB＝BC＝10.

设⊙O的半径为r，则AO＝10－r，∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A， ∴sinA＝sinC＝3

5， ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC，

∴sinA＝OEr3

OA＝10－r＝5，

∴r＝154， 即⊙O的半径是15

4.

2. (1)证明：连接OC，如解图， ∵PC切⊙O于点C， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO＝90°， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°， ∵AB为⊙O的直径，

第2题解图

∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC＋∠OAC＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠PCA＝∠ABC； (2)解：∵AE∥PC， ∴∠PCA＝∠CAF， ∵AB⊥CG， ︵︵∴AC＝AG， ∴∠ACF＝∠ABC， ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠ACF＝∠CAF， ∴CF＝AF， ∵CF＝5， ∴AF＝5， ∵AE∥PC， ∴∠FAD＝∠P， 3

∵sin∠P＝5， 3

∴sin∠FAD＝5，

3

在Rt△AFD中，AF＝5，sin∠FAD＝5， ∴FD＝3，AD＝4， ∴CD＝CF＋FD＝8， 在Rt△OCD中，设OC＝r， ∴r2＝(r－4)2＋82，