§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

§4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

一、直纹曲面：

柱面和锥面都可以由一族直线所构成. 由一族直线所构成的曲面叫做直纹面, 而构成曲面的那族直线叫做这个曲面的一族直母线. 柱面与锥面都是直纹面.

二、直母线：

1． 单叶双曲面

+

－

＝1是直纹面, 它有两族直母线,它们的方程分别为

(?, ?为参数, 且不全为零)

与

(??, ? ?为参数,且不全为零)

注: 此处是把y项移到右边而得到的直母线方程; 同样也可把x项移到右边得到另一组直母线方程, 两组直母线方程的表达形式可能不一样, 但其方向矢量是平行的, 把它们化为标准方程后会发现它们表示同一组直母线. 双曲抛物面情况类似.

2. 双曲抛物面

－

＝2z也是直纹面, 也有两族直母线,方程分别为

(?为参数) 与 (??为参数)

3. 单叶双曲面上两族直母线的大概分布情况如图4-16.

4. 双曲抛物面上两族直母线的大概分布情况如图4-17.

三、性质：

1. 单叶双曲面上异族的任意两条直母线必共面, 而双曲抛物面上异族的任意两条直母线必相交.

2. 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两条直母线总是异面直线, 而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.

3. 对于单叶双曲面和双曲抛物面上的每一点, 两族直母线中各有一条通过这一点.

例1. 试求单叶双曲面 解:单叶双曲面

+

+

2

－z＝1上通过点(2, －3, 1)的直母线.

2

－z＝1的两族直母线方程为

与

将点(2, －3, 1)代入上面的两组方程, 求得 ?＝0 与 ?? : ??＝1:1, 代入直母线族的方程, 得过(2, －3, 1)的两条直母线为

与

即

与

例2. 求在双曲抛物面－＝z上平行于平面3x+2y－4z＝0的直母线. 解:设双曲抛物面的一族直母线中与已知平面平行的直母线为

它的方向矢量为 {－

,

,－

}, 由已知条件有

＝0,

3×+2×+(－4)×

解得u＝0, 从而求得满足条件的直母线为

同理可得另一族直母线中满足条件的直母线为

例3. 试证单叶双曲面

＋

－

＝1的任意一条直母线在xOy坐标面上的射影,

一定是其腰椭圆的切线.

证明:只须对u族直母线情形证明成立即可. 设u族直母线中一条直线l的方程为

l：

则l在xOy坐标面上的射影直线l? 可以看成是直线l在xOy坐标面上的射影柱面与xOy平

面的交线

现只须证明l? 与单叶双曲面的腰椭圆只交于一点即可, 从而l?与腰椭圆相切. 事实上由上式有

l?：

代入腰椭圆方程

得

该式左端是一个完全平方式, 故方程只有一组解, 即l? 与腰椭圆只有一个交点.

例4. 求与两直线＝＝与＝＝相交, 而且与平面2x＋3y－5

＝0平行的直线的轨迹.

解: 设满足条件的直线l的方向矢量为{X, Y, Z}, 点P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与两已知直线相交, 故有

＝0,

＝0.

即有

(y－2z＋2)X＋(3z－x＋3)Y＋(2x－3y－12)Z＝0, (－2y－2z＋8)X＋(2x+3z＋12)Y＋(2x－3y+24)Z＝0.

又l与已知平面平行, 从而 2X+3Y＝0, 由于X, Y, Z不全为零, 由以上三式得

＝0,

化简整理得

－

这是一双曲抛物面.

例5. 求与下列三条直线

＝z.

与 ＝＝

都共面的直线所构成的曲面.

解: 设{X, Y, Z}是满足条件的直线l的方向矢量, P(x, y, z)是l上任意一点, 因l与已知三直线都共面, 故有

＝0,

或

＝0,＝0.

由于X, Y, Z不全为零, 从而有

＝0,

化简整理得

x2+y2－z2＝1.

这是一单叶双曲面.

作业题：

1. 试求双曲抛物面－＝2z在点(4, 0, 2)的直母线方程. 2. 求通过直纹曲面z＝xy上点(1, 1, 1)的直母线方程.