2015新课标统考极坐标与参数方程学生版

大胆做，立即做，做到底

极坐标与参数方程知识点

一、极坐标

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，

设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则???x＝ρcos θ，

??

y＝ρsin θ

或

??

ρ2＝x2＋y2

，???

tan θ＝y

x?x≠0?.3．直线的极坐标方程

第1页 共2页

4．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2

＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ； (3)当圆心位于M??a，π

2??，半径为a：ρ＝2asin_θ. 二、参数方程

1．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点Px，倾斜角为α的直线的参数方程为???x＝x0＋tcos α，0(0，y0)??

y＝y0＋tsin α

(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P→

0P的数量．

(2)圆的参数方程??x?x0?rcos??y?y (θ为参数)．

0?rsin?(3)圆锥曲线的参数方程

x2y2

椭圆??x＝acos θ，a2＋b2＝1的参数方程为???y＝bsin θ

(θ为参数)．

x2y2

双曲线??x＝asec φ，a2－b2＝1的参数方程为???y＝tan φ

(φ为参数)．

抛物线y2

＝2px的参数方程为???x＝2pt2

，??

y＝2pt

(t为参数)． 2．参数方程的几何意义

过定点P（x0，y0），倾斜角为?的直线的参数方程是 ??yx??xy0?tcos??sin? （t为参数）．与曲线C

0?t（以抛物线y2?2px为例）相交于A、B两点，将直线的标准参数方程带入曲线C中，得到关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义可得如下结论：

(1)|PA|?|PB|?|t1t2| (2) |PA|?|PB|?|t1|?|t2|

(3)|AB|?|t1?t2|?(t1?t2)2?4t1t2

第2页 共2页

大胆做，立即做，做到底

极坐标与参数方程高考题

1.【2012高考新课标】

已知曲线C1的参数方程是?

3．[2014·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐π标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈?0，?.

2??(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确

定D的坐标．

?x?2cos? (φ为参数)，以坐标原点为极

?y?3sin?点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2π

上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)

3(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.

2．（2013新课标Ⅱ卷）已知动点P,Q都在曲线C:??x?2cos??y?2sin?(?为参数)上,对应参数分别为???与??2?(0???2?),M为PQ的中点. (Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为?的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.

第3页 共4页

4．[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知曲线C：x2y2

??x＝2＋t，4＋9＝1，直线l：???

y＝2－2t(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

第4页 共4页

大胆做，立即做，做到底

5.（2013年高考新课标1（理）） 已知曲线C1的参数方程为??x?4?5cost?5?5sint(t为参数),以坐标原点

?y为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为??2sin?. (Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;

(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

6.（2013福建）坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极

轴建立坐标系.已知点A的极坐标为(2,?),直线的极坐标方程为?cos(???44)?a,且点A在直线上.

(1)求a的值及直线的直角坐标方程;

(2)圆c的参数方程为??x?1?cos?,(?为参数?y?sin?),试判断直线与圆的位置关系.

第5页 共6页

7．（2013辽宁）在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的

极坐标方程分别为??4sin?,??cos???????4???22.. (I)求C1与C2交点的极坐标;

(II)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为

??x?t3?a?b3?t?R为参数?,求a,b的值. ??y?2t?1

?x＝1－2xOy中，已知直线l的参数方程为?2t，

8.[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系(t为参数)，直

?y＝2＋2

2

t线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

第6页 共6页

大胆做，立即做，做到底

9．[2014·辽宁卷] 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以

坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

10.【2012高考辽宁文23】 在直角坐标xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C222:(x?2)?y?4。 (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐标方程，并求

出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程。

第7页 共8页

11.（2014云南省第二次统测）已知曲线C的参数方程为??x?3cos?,?y?3sin?（?为参数），以原点O为

极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为?cos(???6)?1．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设M是曲线C上的点，求M到直线l的距离的最大值．

12..（2014昆明摸底）在直角坐标系xOy中，

l是过定点P(4，2)且倾斜角为a的直线；在极坐标

系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为??4cos?

(I)写出直线l的参数方程；并将曲线C的方程化为直角坐标方程；

( II)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求PM?PN的取值范围．

第8页 共8页