2008年福建高考数学试题（理科）及答案

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD?平面ABCD=AD, PO?平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝2，

在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

PG122??,?PBO?arctan. BC2222. 23. 2所以异面直线PB与CD所成的角是arctan（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 设QD＝x，则S?DQC?1x，由（Ⅱ）得CD=OB=2， 2 在Rt△POC中， PC?OC2?OP2?2, 所以PC=CD=DP, S?PCD?33(2)2?, 42由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时解法二：

(Ⅰ)同解法一.

AQ1?. QD3OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴(Ⅱ)以O为坐标原点，OC、的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得

A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1),

，，0），PB＝（，1?1，?1）. 所以CD＝（?11所以异面直线PB与CD所成的角是arccos6， 3第5页

(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为由(Ⅱ)

3， 2知

x f′(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,+∞) + ↗ CP?(?1,0,1),CD?(?1,1,0).

设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).

???x0?z0?0,?nCP?0,则?所以?即x0?y0?z0，

?x?y?0,??00?nCD?0,取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设Q(0,y,0)(?1?y?1),CQ?(?1,y,0),由

CQnn??1?y3315?,解y=-或y=(舍去)， ，得22223此时AQ?AQ113?. ,QD?，所以存在点Q满足题意，此时

QD322(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考

查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为f(x)?13x?x2?2,所以f′(x)=x2+2x, 32? 由点(an,an?1?2an?1)(n?N)在函数y=f′(x)的图象上, ? 又an?0(n?N),所以(an?1?an)(an?1?an?2)?0,

所以Sn?3n?n(n?1)?2=n2?2n,又因为f′(n)=n2+2n,所以Sn?f?(n), 2 故点(n,Sn)也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解:f?(x)?x?2x?x(x?2), 由f?(x)?0,得x?0或x??2.

当x变化时,f?(x)﹑f(x)的变化情况如下表: 注意到(a?1)?a?1?2,从而

①当a?1??2?a,即?2?a??1时,f(x)的极大值为f(?2)??22,此时f(x)无极小值； 3②当a?1?0?a,即0?a?1时,f(x)的极小值为f(0)??2,此时f(x)无极大值；

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③当a??2或?1?a?0或a?1时,f(x)既无极大值又无极小值.

(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分.

解:设“科目A第一次考试合格”为事件A，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2.

(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立， 则P(A1B1)?P(A1)?P(B1)?211??. 3231. 3答：该考生不需要补考就获得证书的概率为

(Ⅱ)由已知得，?＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

P(??2)?P(A1B1)?P(A1A2)

?2111114??????. 3233399P(??3)?P(A1B1B2)?P(A1B1B2)?P(A1A2B2)

?2112111211114????????????, 3223223326693P(??4)?P(A1A2B2B2)?P(A1A2B1B2)

12111211111??????????, 33223322181894418故E??2??3??4??.

99938答：该考生参加考试次数的数学期望为.

3 ?(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形， 所以OF?3MN, 2 即1＝

32b,解得b＝3. 232x2y2??1. a?b?1?4,因此，椭圆方程为432 (Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，

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OA?OB?2a2,AB?4a2(a2?1),因此，恒有OA?OB?AB.222222

(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，

x2y2 设直线AB的方程为：x?my?1,代入2?2?1,

ab 整理得(a?bm)y?2bmy?b?ab?0,

222222222b2mb2?a2b2,y1y2?2 所以y1?y2?2

a?b2m2a?b2m2 因为恒有OA?OB?AB，所以?AOB恒为钝角. 即OAOB?(x1,y1)(x2,y2)?x1x2?y1y2?0恒成立.

x1x2?y1y2?(my1?1)(my2?1)?y1y2?(m2?1)y1y2?m(y1?y2)?1

222(m2?1)(b2?a2b2)2b2m2??2?1a2?b2m2a?b2m2 2222222?mab?b?ab?a??0.a2?b2m2

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m?R恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m?R恒成立.

当m?R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a2

因为a>0,b>0,所以a0, 解得a>

1?51?51?5或a<(舍去)，即a>, 2221?5，+?）. 2综合（i）(ii)，a的取值范围为（解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时，

1y2b2(a2?1)2x=1代入2?2?1,yA?=1.

aba2因为恒有|OA|+|OB|<|AB|

2

2

2

,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即

a2?1>1, a第8页