2014选修4-5不等式选讲20140604

高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功 高中数学新课标 选修4-5不等式选讲

【基础回归】

1．若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|A.{x|?1?x??2x?1?0}，则A∩B是 3?x( )

111或2?x?3} B．{x|2?x?3} C. {x|??x?2} D. {x|?1?x??} 222??1

?解析 ∵A＝{x|－2<2x<4}＝{x|－10}＝x|x<－，或x>3?.

2???1?

∴A∩B＝?x|－1

2??

2．若实数a，b满足ab>0，则①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a－b|。

这四个式子中正确的是 A．①② 答案 C

B．①③

C．①④

( ) D．②④

x1

3．如果存在实数x，使cos?＝＋成立，那么实数x的集合是

22xA．{－1，1}

C．{x|x>0，或x＝－1}

B．{x|x<0，或x＝1} D．{x|x≤－1，或x≥1}

( )

?x1?解析 由|cos α|≤1，所以?＋?≤1. ?22x?

1?x1?|x|

又?＋?＝＋≥1. ?22x?22|x|∴

|x|1＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1. 22|x|

答案 A

4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是

A．1，x∈[－1，2] B．3，0

( )．

C．3，x∈[－1，2] D．2，x∈[1，2]

解析 运用含绝对值不等式的基本性质有|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3. 当且仅当(x＋1)(2－x)≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x≤2. 答案 C

11

5．如果<2和|x|>同时成立，那么x的取值范围是 ( )．

x3

A. {x|?11?x?} 3212B.{x|x?11或x??} 231313C.{x|x?}

11

解析 解不等式<2得x<0或x>. x2

D.{x|x??或x?}

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高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功 111

解不等式|x|>得x>或x<－. 333

?11?

?∴x的取值范围为x|x>，或x<－?.

23??

答案 B

6．不等式1<|x＋1|<3的解集为 ( )．

A．(0,2) C．(－4,0)

??x＋1≥0，

解析 原不等式等价于?

?1

?

?－3

B．(－2,0)∪(2,4) D．(－4，－2)∪(0,2)

或

??x≥－1，

??

?0

??x<－1，

或?

?－4

?0

答案 D

7．若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是( )．

A．(－∞，5)

B．[0,5)

C．(－∞，1)

D．[0,1]

解析 由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x＋3|表示的是x与数轴上的点A(－3)及B(2)两点距离之和，

A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A、B两点距离

之和都大于5，

∴|x－2|＋|x＋3|≥5，∵x∈R，∴a<5. 答案 A

11

8．若a，b∈R＋，且a＋b＝2，则＋的最小值为

ab( )． D．4

A．1 答案 B 9．函数y?log2(x?A．－3

B．2 C.2

1?5)(x?1)的最小值为 x?1B．3

C．4

( )． D．－4

解析 x＞1，x－1＞0，

＋5?＝log2?x－1＋＋6 y＝log2?x＋x－1??x－1???≥log2(2＋6)＝log28＝3. 答案 B

10．若a，b，c＞0且(a＋b)(a＋c)＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为

A.3－1

B.3＋1

C．23＋2

( ) D．23－2

?

1

??

1

?

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高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功 解析 (a＋b)＋(a＋c)≥2＝24－23＝23－2.

a＋ba＋c

当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立． 答案 D

11．在下列函数中最小值是2的是

x5

A．y＝＋(x∈R且x≠0)

5xC．y＝3＋3(x∈R)

x－x ( )

1

B．y＝lg x＋(1＜x＜10)

lg xD．y?sinx?1?（0?x?） sinx2x51

解析 A中的函数式，与都不一定是正数，故可排除A；B中的函数式，lg x与都是正数且乘积

5xlg x1x为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x＝，即x＝10与10,3

lg x－x11πx＝x>0，∴运用基本不等式取等号的条件是3＝x，而x＝0成立，故选C.D中，∵0

11∈(0,1)，而>1，sin x≠.

sin xsin x答案 C

14

12．已知x，y都为正数，且＋＝1，则xy有

xy( )．

1

C．最小值

16

1

D．最大值

16

A．最小值16 B．最大值16

14

解析 ∵x，y∈(0，＋∞)且＋＝1，

xy14∴1＝＋≥24

xyxy＝

4

xy，∴xy≥4，∴xy≥16，

xy??当且仅当?14

＋＝1，xy??x，y∈，＋

此时(xy)min＝16. 答案 A 【知识解读】

1．极坐标系的概念

1

4＝，

，

即?

?x＝2，???y＝8

时取等号，

（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用?表示|OM|，用?表示角xOM，?叫

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高中数学新课标讲座之选修4-5不等式选讲 石嘴山市光明中学 潘学功 做点M的极径，?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做点M的极坐标，记作M（?，?）。

?） （3）极点的极坐标：极点的极径??0，极角?可以是任何实数，所以极点的极坐标为（0，（??R），

也就是说极点有无数个极坐标。

（4）点的极坐标的多样性：平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（?，

?）的定义，对于给定的点的无数个极坐标，可分为两类：一类为（?，??2k?）（k?Z）；另一类为

（??，??2k???）（k?Z）。 2．极坐标与直角坐标的互化

（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位。

??2?x2?y2?x??cos?? （2）互化公式：①直角坐标化极坐标?；②极坐标化直角坐标?。 yy??sin???tan??(x?0)x?3．圆的极坐标方程

（1）曲线C的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程，并且坐标适合方程的点都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的极坐标方程。

（2）圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A（，0），圆的半径是，圆心坐标是C（，0）（），则圆的极坐标方程是。

（2）直线的极坐标方程：直线l经过极点，极轴与直线的夹角是，则直线的极坐标方程为（）。 【例题示范】

εεε

〖例1〗已知|x＋1|<，|y－2|<，|z＋3|<，求证：|x＋2y＋z|<ε。

444

证明 |x＋2y＋z|＝|x＋1＋2(y－2)＋z＋3|

≤|x＋1|＋|2(y－2)|＋|z＋3|＝|x＋1|＋2|y－2|＋|z＋3| εεε

<＋＋＝ε.∴|x＋2y＋z|<ε. 424

〖例2〗已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a＞0)。

(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围。 解 (1)当a＝1时，得2|x－1|≥1， 131

∴|x－1|≥，x≥或x≤，

222

?13?

∴不等式的解集为?x|x≤或x≥?.

22??

(2)∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|， ∴原不等式解集为R等价于|a－1|≥1， ∴a≥2或a≤0. 又∵a＞0，∴a≥2.

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