2016山东泰安数学学业考试解析版

【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

23．如图，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为

．

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例式，求出BF，根据勾股定理求出OF，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8， ∴BD=

=10，

，

，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°， ∴△BOF∽△BCD， ∴

=

，即=

，

=，

解得，BF=则OF=

则△BOF的面积=×OF×OB=

故答案为：．

【点评】本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三

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角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2

n+1

﹣2 ．

【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题． 【解答】解：由题意得OA=OA1=2， ∴OB1=OA1=2， B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8， ∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，

234

2=2﹣2，6=2﹣2，14=2﹣2，…

n+1

∴Bn的横坐标为2﹣2．

n+1

故答案为 2﹣2．

【点评】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（共5小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 25．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=

k的图象经过点D，与BC的交点为N． x

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．

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【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD=2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM=2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）把y=3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，y），根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可． 【解答】解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3）， ∴OA=AB=BC=OC=3，∠OAB=∠B=∠BCO=90°， ∵AD=2DB， ∴AD=

2AB=2， 3

∴D（﹣3，2）， 把D坐标代入y=

k得：k=﹣6， x6∴反比例解析式为y=﹣，

x∵AM=2MO， ∴MO=

1OA=1，即M（﹣1，0）， 3把M与D坐标代入y=kx+b中得：解得：k=b=﹣1，

则直线DM解析式为y=﹣x﹣1； （2）把y=3代入y=﹣

，

6得：x=﹣2， x∴N（﹣2，3），即NC=2， 设P（x，y）， ∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等， ∴

11（OM+NC）OC=OM|y|，即|y|=9， 22

解得：y=±9， 当y=9时，x=﹣10，当y=﹣9时，x=8， 则P坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

26．某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．

（1）求两种球拍每副各多少元？

（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

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【分析】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球每副y元，由题意得，

，

解得，，

答：直拍球拍每副220元，横拍球每副260元； （2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球（40﹣m）副， 由题意得，m≤3（40﹣m）， 解得，m≤30， 设买40副球拍所需的费用为w， 则w=（220+20）m+（260+20）（40﹣m） =﹣40m+11200， ∵﹣40＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m=30时，w取最大值，最大值为﹣40×30+11200=10000（元）． 答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球10副时，费用最少．

【点评】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．

27．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

2

（1）求证：AC=CDBC； （2）过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB． ①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

] 【分析】（1）欲证明AC=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；

（2）①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH； ②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

2

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