(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点_直线_平面之间的位置

解析 如图，若要出现所成角为60°的异面直线，则直线需为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是A′B，BC′，A′D，C′D，正方形的面对角线有12×4

12条，所以所求的“黄金异面直线对”共有＝24对(每一对被计算两次，所以要除以

22).

8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是________. 答案 ②③④

解析 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，

GH与MN成60°角，DE⊥MN.

9.(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，

BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.

7答案 8

解析 如图所示，连结DN，取线段DN的中点K，连结MK，CK.

∵M为AD的中点， ∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角. ∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，

N为BC的中点，

由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝22， ∴MK＝2. 在Rt△CKN中，CK＝

2

2

＋1＝3.

2

在△CKM中，由余弦定理，得

CM2＋MK2－CK2

cos∠KMC＝ 2CM×MK＝

2

2

＋2

2

－3

2

2×22×2

7＝. 8

10.(2017·泰州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________.

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DE⊥A1C； ④存在某个位置，使MB∥平面A1DE. 答案 ③

1

解析 取DC中点F，连结MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.

2由余弦定理可得MB＝MF＋FB－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；

2

2

2

A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确.

11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.

证明 连结BD，B1D1，如图.

则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，

B1D?平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1. 即D1、H、O三点共线.

12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.

解 如图所示，取AC的中点F，连结EF，BF，

在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点， ∴EF∥CD.

∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角. 11

在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，

22∴BE＝

5

. 2

1112

在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.

222215

在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. 2212

EF2410

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝. BE510

2∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为

10. 10

13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D、B、F、E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线. 证明 (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.