天津市南开区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

可知当m?0时g?x??f?x??m有5个不同的零点；故①正确； 1?，函数g?x?的零点不超过4个， 若?m??0，1?，y?f?x?与y?m的交点不超过4个， 即?m??0，?x?2时f?x??0恒成立

???时，f?x???a?x??x?2? 又Q当x??2，???上恒成立 ?a?x?0在x??2，???上恒成立 ?a?x在x??2，?a?2

由于偶函数f?x?的图象，如下所示：

直线l与图象的公共点不超过4个，则a?2，故②正确； ???，偶函数f?x?的图象，如下所示： 对?m??1，

?a??4，???，使得直线l与g?x?恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确．

故答案为：①②③ 【点睛】

本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

14．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆Cn:x2??y?an??rn2 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______

2

【答案】【解析】 【分析】

5 n 4第一空：将圆C1:x2??y?a1??1与y=x联立，利用??0计算即可；

22第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系an?an?1?rn?1?rn，再将Cn:x2??y?an??rn2与y=x22联立，得到an?rn?【详解】

21，与an?an?1?rn?1?rn结合可得rn为等差数列，进而可得rn. 4当r1=1时，圆C1:x2??y?a1??1，

2与y=x联立消去y得y??2a1?1?y?a1?1?0，

222则???2a1?1??4a1?1?0，解得a1?22??5； 4由图可知当n?2时，an?an?1?rn?1?rn①， 将Cn:x2??y?an??rn2与y=x联立消去y得

22y2??2an?1?y?an2?rn2?0，

则???2an?1??4an?rn22?2??0，

整理得an?rn?211122，代入①得rn??rn?1??rn?1?rn， 444整理得rn?rn?1?1， 则rn?r1??n?1??n. 故答案为：【点睛】

本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目.

15．已知圆C：x2?y2?8x?ay?5?0经过抛物线E：x2?4y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________. 【答案】46 【解析】 【分析】

求出抛物线的焦点坐标，代入圆的方程，求出a的值，再求出准线方程，利用点到直线的距离公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦长的一半，进而求出弦长． 【详解】

抛物线E: x?4y的准线为y??1，焦点为（0，1），把焦点的坐标代入圆的方程中，得a?4，所以圆心的坐标为(?4,?2)，半径为5，则圆心到准线的距离为1， 所以弦长?252?12?46． 【点睛】

25；n. 4本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式．

16．某种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?2)，且P(??3??Z???3?)?0.9974．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间(??3?,??3?)之外的产品件数为_________． 【答案】26 【解析】 【分析】

直接计算10000??1?P(??3??Z???3?)?，可得结果. 【详解】

由题可知：P(??3??Z???3?)?0.9974

则质量指标值位于区间(??3?,??3?)之外的产品件数：

10000??1?P(??3??Z???3?)??10000?0.0026?26

故答案为：26 【点睛】

本题考查正太分布中3?原则，审清题意，简单计算，属基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x217．已知函数f?x???mx?2lnx，m?R.

2（1）讨论函数f?x?的单调性；

（2）已知f?x?在x?1处的切线与y轴垂直，若方程f?x??t有三个实数解x1、x2、x3（x1?x2?x3），求证：x1?2?x3.

【答案】（1）①当m??22时， f?x?在?0,???单调递增,②当m??22时，f?x?单调递增区间为

??m?m2?8?m?m2?8???m?m2?8???m?m2?8?,???,单调递减区间为?,? ?0,?,???????2222??????（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）先求解导函数，然后对参数m分类讨论，分析出每种情况下函数f?x?的单调性即可；

（2）根据条件先求解出m的值，然后构造函数?1(x)?f(x)?f(2?x)(0?x?2)分析出x1,x2之间的关