2018年高考数学(文数)二轮复习专题 08平面向量(讲学案)精品资料Word版含解析

高考侧重考查正、余弦定文与其他知识(如三角函数、平面向量等)的综合应用，试题一般为中档题，各种题型均有可能出现．高考仍将以正、余弦定文的综合应用为主要考点，重点考查计算能力及应用数学知识分析、解决问题的能力．

1．向量的基本概念

(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定文

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 3．平面向量基本定文

如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

4．两向量的夹角

→→

已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．

5．向量的坐标表示及运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．

→

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共线的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，

当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线． 7．平面向量的数量积

设θ为a与b的夹角． (1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.

a·b

(2)投影：|b|＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影． 8．数量积的性质 (1)a⊥b?a·b＝0；

(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；

(3)|a·b|≤|a|·|b|； a·b(4)cosθ＝|a|·|b|.

9．数量积的坐标表示、模、夹角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2；

2(2)|a|＝x21＋y1；

(3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝x1x2＋y1y2222x21＋y1·x2＋y2

.

【误区警示】

1．两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．

2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． a·ba·b

3．a在b方向上的投影为|b|，而不是|a|.

4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0?a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0?λ＝μ＝0.

考点一 平面向量的概念及线性运算

例1．【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=(?1,?) ,若a||b,则?? . 【答案】-3

【解析】由a||b可得?1?6?2?????3.

【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.

【答案】－6

【解析】基本法：∵a∥b，∴a＝λb

【方法技巧】平面向量线性运算的两种技巧

(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．

(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b?存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．

→→

【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝( ) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 【答案】A

→

【解析】基本法：设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，

?x＝－4，?→所以?从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.

??y＝－2，

→

速解法：∵AB＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

→→→

BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．

→→

(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( ) 1→→

A.AD B.2AD 1→→

C.BC D.2BC 【答案】A

11→→→→→→

【解析】基本法一：设AB＝a，AC＝b，则EB＝－2b＋a，FC＝－2a＋b，从而EB＋FC＝→?－1b＋a?＋?－1a＋b?＝1(a＋b)＝AD

，故选A.

?2??2?2

→→→→→→→→1→→

基本法二：如图，EB＋FC＝EC＋CB＋FB＋BC＝EC＋FB＝2(AC＋AB) 1→→＝2·2AD＝AD.

考点二 平面向量数量积的计算与应用

????例2．【2017课标3，文13】已知向量a?(?2,3),b?(3,m)，且a?b，则m= .

【答案】2

【解析】由题意可得：?2?3?3m?0,?m?2.

→13→?31? 【变式探究】(1)(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝，则∠ABC

?22??2，2?＝( )

A．30° B．45° C．60° 【答案】A

D．120°