2019-2020学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级(上)期末数学试卷

（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE?FG，再判断出EQ＝FG?FE＝8，即可得出结论． 【解答】解：（1）由图1知，AB＝

，BC＝2

FE，继而求出

，∠ABC＝90°，AC＝5，

∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，

①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA， ∴

＝

＝或

＝

＝2，

∴CD＝10或CD＝2.5

同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10， 如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．

（2）证明：如图2中，

∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°， ∴∠A+∠ADB＝140° ∵∠ADC＝140°， ∴∠BDC+∠ADB＝140°， ∴∠A＝∠BDC， ∴△ABD∽△DBC，

∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；

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（3）如图3，

∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”， ∴△EFH与△HFG相似， ∵∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG， ∴

＝

，

∴FH2＝FE?FG， 过点E作EQ⊥FG于Q， ∴EQ＝FE?sin60°＝∵FG×EQ＝4∴FG×

，

， FE，

FE＝4

∴FG?FE＝16， ∴FH2＝FE?FG＝16， ∴FH＝4．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．

28．（9分）如图①抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点．

（1）试求抛物线解析式；

（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

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【分析】（1）把已知点A、B代入抛物线y＝ax2+bx+4中即可求解；

（2）将二次函数与方程、几何知识综合起来，先求点D的坐标，再根据三角形全等证明∠PBC＝∠DBC，最后求出直线BP解析式即可求出P点坐标； （3）根据平行四边形的判定即可写出点M的坐标． 【解答】解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（4，0），点C三点． ∴ 解得

．

，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4． （2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣1.5）2+6.25． ∵点D（3，m）在第一象限的抛物线上， ∴m＝4， ∴D（3，4）， ∵C（0，4） ∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°． 连接CD，∴CD∥x轴， ∴∠DCB＝∠OBC＝45°， ∴∠DCB＝∠OCB，

在y轴上取点G，使CG＝CD＝3，

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再延长BG交抛物线于点P， 在△DCB和△GCB中，

，

∴△DCB≌△GCB（SAS） ∴∠DBC＝∠GBC．

设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（4，0）代入，得 k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式为yBP＝﹣x+1． yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+3x+4， 当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+3x+4， 解得x1＝﹣，x2＝4（舍去）， ∴y＝

，

）．

∴P（﹣，

（3）设点N（1.5，n），

当BC、MN为平行四边形对角线时， 由BC、MN互相平分，M（2.5，4﹣n）， 代入y＝﹣x2+3x+4，

得4﹣n＝﹣6.25+7.5+4，解得n＝1.25， ∴M（2.5，2.75）；

当BM、NC为平行四边形对角线时， 由BM、NC互相平分，M（﹣2.5，4+n）， 代入y＝﹣x2+3x+4，

得4+n＝﹣6.25﹣7.5+4，解得n＝﹣13.75， ∴M（﹣2.5，﹣13.75）；

当MC、BN为平行四边形对角线时， 由MC、BN互相平分，M（5.5，n﹣4），

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