初升高数学衔接教材（完整）

第一讲

1、 绝对值

数与式

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a, a 0,

| a | 0,

a a, a

0, 0.

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

（3）两个数的差的绝对值的几何意义： 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式 ① f (x) ② f (x) ③ f (x)

a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离．

a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 a(a 0) , 去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是 g ( x)

f ( x) g 2 (x) 。

2

a f ( x) a 。

f (x) a或 f ( x) a 。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地 ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例 1. 求不等式

n 个零点把数轴分为 n＋ 1 段进行讨论．

3x 5 4 的解集

例 2. 求不等式

2x 1 5的解集

例 3. 求不等式

x 3 x 2 的解集

例 4. 求不等式 | x＋ 2| ＋ | x－ 1| ＞ 3 的解集．

1

例 5. 解不等式 | x－ 1| ＋ |2 －x| ＞ 3－ x．

例 6. 已知关于 x 的不等式 | x－ 5| ＋ | x－3| ＜ a 有解 ，求 a 的取值范围．

练习

解下列含有绝对值的不等式：

（1） x

1 x 3 ＞4+x

（ 2） | x+1|<| x－2| （ 3） | x－ 1|+|2 x+1|<4 （ 4） 3x 2 7 (5)

5x 7 8

3、因式分解 乘法公式

（ 1）平方差公式 （ 2）完全平方公式 （ 3）立方和公式 （ 4）立方差公式 （ 5）三数和平方公式 （ 6）两数和立方公式

( a b)( a b) a2

b

2

( a b)

2

a

2

2ab b

2

( a b)(a2

ab b2 ) a3

b3

( a b)(a

2

ab b2 ) a3 b

3

( a b c)2

a

2

b2

c2

2(ab bc ac)( a b)

3

a3

3a2b 3ab2

b

3

2

（ 7）两数差立方公式

(a

b)

3

a3 3a2b 3ab2 b3

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法

例 1

分解因式：

（ 1） x2－3x＋ 2；

（ 2） 6x

2

7 x 2

（ 3） x

2

(a b) xy aby2

； （ 4） xy 1 x

y ．

2．提取公因式法

例 2. 分解因式：

（ 1） a2

b 5 a 5 b

（ 2） x

3

9 3x

2

3x

3．公式法

例 3. 分解因式：

（1） a

4

16

（ 2） 3x 2 y

2

x y

2

4．分组分解法

例 4. （ 1） x

2

xy 3y 3x （ 2） 2x

2

xy y2

4x 5y 6

5．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c( a≠ 0) 的因式分解．

若关于 x 的方程 ax2

bx c

0(a 0) 的两个实数根是

x1 、 x2 ，则二次三项式解为

a( x x1 )( x x2 ) .

例 5. 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） x

2

2x 1；

（ 2） x

2

4xy

4 y

2

．

3

2

bx c(a

0) 就可分

ax

练习 （1） x

2

5x 6

2

（ 2） x

2

a 1 x

7x 6x

a

（ 3） x

2

11x 18

2

（4） 4m

12m 9 （5） 5

2

（6） 12x

3

xy 6 y

2

（ 7 ） 6 2 p （10） x

q 2

2

11 q 2 p 3

（ 11） x2

（ 8 ） a5a b 6ab

22

（ 9 ） 4 x

2

2

4x 2

4

2 x1

2

y

2

a

2

b

2

2ax 2by

4 （12） 2 4

a ab b

（14） a

6 12 a b

9

x2 －2x－ 1

(13)

3

1；

（ 15） 4x4

13x

2

9 ；

（16） b

2

c 2ab 2ac 2bc ；

2

（ 17） 3x第二讲

2

5xy 2 y x 9 y 4

一元二次方程与二次函数的关系

2

1、一元二次方程

(1) 根的判别式 对于一元二次方程

（ 1） 当

ax2＋ bx＋ c＝0（ a≠ 0），有 :

＞0 时，方程有两个不相等的实数根

x

1

＝

1， 2

b b

2

4ac ；

2

2a

（ 2）当

＝ 0 时，方程有两个相等的实数根

x ＝ x ＝－

b ； 2a

（ 3）当 ＜ 0 时，方程没有实数根． (2) 根与系数的关系（韦达定理）

如果 ax＋ bx＋ c＝ 0（ a≠ 0）的两根分别是 x1， x2，那么 x1＋ x2＝

2

b

a

，x1·x2＝

．这一关系也被称为韦达

a

c

定理．

2、二次函数 y ax bx c 的性质

2

1. 当 a

0 时，抛物线开口向上，对称轴为

x

b ，顶点坐标为

b ，4ac b 2a

2

。

时，y 有最小值

2a 4a b 2 a

当 x

b 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x 2a b 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x 2a

4ac b2 4a

。

4