课时提能演练(七十八) 选修4-4.1

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课时提能演练(七十八)

2π

1.(2012·福州模拟)在极坐标系中，求过点A(4，－)与极轴所在直线垂直的

3直线的极坐标方程.

2.将下列极坐标方程化为直角坐标方程： π2θ(1)θ＝(ρ≥0)；(2)ρcos＝1. 32

π

3.在极坐标系中，求点(2，)到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离.

3

π

4.在极坐标系中，求点A(2，)关于直线l：ρcosθ＝1的对称点的一个极坐

2标(ρ≥0,0∈[0,2π)).

5.从原点O引直线交直线2x＋4y－1＝0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|＝1.求P点的轨迹的极坐标方程.

π3π

6.求过点A(3，)且和极轴成角的直线的极坐标方程.

34

7.求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的长度的倒数和为常数. 8.已知曲线C1：ρ＝4cosθ与曲线C2：ρ＝4sinθ，相交于两点A，B，求： (1)|AB|；(2)曲线C1与C2的公共部分的面积.

9.(预测题)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin(θ－π2

)＝， 42

- 1 -

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(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

10.(易错题)如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状.

答案解析

1.【解题指南】先求出点的直角坐标以及直线的直角坐标方程，再转化为极坐标方程；也可以结合图形，利用正弦定理建立动点(ρ，θ)的极坐标方程. 2π

【解析】方法一：点A(4，－)的直角坐标为(－2，－23).故过A垂直于x

3轴的直线的直角坐标方程为x＝－2，化为极坐标方程为ρcosθ＝－2. 方法二：如图，设M(ρ，θ)为直线上异于A的任意一点，

- 2 -

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在△OAM中，|OA|＝4，|OM|＝ρ，∠OAM＝π6，∠由正弦定理， 得 |OM|＝|OA|

，sinπ6sin(θ－π 2

)∴ρ1＝4－cosθ，即ρcosθ＝－2为所求. 22.【解析】(1)∵tanθ＝y

x，

∴tanπy

3＝x＝3，

化简得：y＝3x(x≥0). (2)∵ρcos2θ

2

＝1，

∴ρ1＋cosθ2＝1，即ρ＋ρcosθ＝2.

所以x2＋y2＋x＝2， 化简得y2＝－4(x－1).

- 3 - OMA＝θ－π

2.

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π

3.【解析】极坐标系中的点(2，)化为直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标

3方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，

∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝3.

??x＝ρcosθ

4.【解题指南】建立直角坐标系，由公式?

?y＝ρsinθ?

将点的极坐标和直线的

极坐标方程分别化为直角坐标和直角坐标方程，求得对称点的直角坐标，再利

?

用公式?y

tanθ＝(x≠0)?x?

222ρ＝x＋y?

化为极坐标.

【解析】以极点为原点，极轴所在直线为x轴，

??x＝ρcosθ

建立平面直角坐标系，两坐标系取相同的单位长度，则由公式?

??y＝ρsinθ

，

π

点A(2，)的直角坐标为(0,2)，

2

直线l：ρcosθ＝1的直角坐标方程为x＝1，

点(0,2)关于直线l：x＝1对称点的坐标为(2,2)，利用公式

222ρ＝x＋y?

?

y?

tanθ＝(x≠0)?x?

y

，得ρ＝x＋y＝8，tanθ＝＝1，因为角θ的终边过点

x

2

2

2

ππ

(2,2)，故θ＝，所以点的直角坐标(2,2)化为极坐标为(22，).

445.【解题指南】在极坐标系中，因极径ρ(ρ≥0)的几何意义表示动点到极点的距离，本题条件是|OP|〃|OM|＝1，因此选择极坐标系，将OP，OM用极径ρ(ρ≥0)表示，显得简便.

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