高考试题（解析版）--数学理（陕西卷）

lgx??11．设f(x)??a2x?3tdt???0x?0x?0，若f(f(1))?1，则a? ．

【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从x?1算起是解答本题的突破口.

23【解】因为x?1?0，所以f(1)?lg1?0，又因为f(x)?x??3tdt?x?a，

0a3所以f(0)?a，所以a?1，a?1．

3【答案】1

212．设n?N?，一元二次方程x?4x?n?0有整数根的充要条件是n? ． ．．

【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算． 【解】x?4?16?4n?2?4?n，因为x是整数，即2?4?n为整数，所以4?n为整数，2且n?4，又因为n?N?，取n?1,2,3,4，验证可知n?3,4符合题意；反之n?3,4时，可推出一元二次方程x?4x?n?0有整数根． ．．【答案】3或4

13．观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第n个等式为 .

【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．

【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n?1；等式右边都是完全平方数，

行数 等号左边的项数

1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7

…… …… …… 所以n?(n?1)?L?[n?(2n?1)?1]?(2n?1)， 即n?(n?1)?L?(3n?2)?(2n?1) 【答案】n?(n?1)?L?(3n?2)?(2n?1)

14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时

2222需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．

【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i个树坑旁边（如图），

1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i个树坑距离的和是

s?(i?1)?10?(i?2)?10?L?(i?i)?10?[(i?1)?i]?10?L?(20?i)?10

?10?[i?i?i(i?1)(20?i)(i?1?20)?i?(20?i)?] 22?10(i2?21i?210)，所以当i?10或11时，s的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值

是2000米.

（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是10?(1?2?L?19)?2?10?19(1?19)?2?3800；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁2边时，路程总和是10?(1?2?L?9)?10?(1?2?L?10)?2

?10?9?(1?9)10?(1?10)?2?10??2?900?1100?2000，所以路程总和最小为2000米. 22【答案】2000

15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A．（不等式选做题）若关于x的不等式|a|…|x?1|?|x?2|存在实数解，则实数a的取值范围是 ．

【分析】先确定|x?1|?|x?2|的取值范围，再使得a能取到此范围内的值即可． 【解】当x??1时，|x?1|?|x?2|??x?1?x?2??2x?1…3； 当?1?x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?3； 当x?2时，|x?1|?|x?2|?x?1?x?2?2x?1?3；

综上可得|x?1|?|x?2|…3，所以只要|a|…3，解得a??3或a…3， 即实数a的取值范围是(??,?3]U[3,??)． 【答案】(??,?3]U[3,??)

B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE?BC，?ACD?90，且AB=6，AC=4，AD=12，

o则BE= ．

【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解． 【解】因为AE?BC，

所以∠AEB=?ACD?90，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△

o

ACAD, ?AEABAB?AC6?4所以AE???2，在Rt△AEB中，

AD12ACD，所以

BE?AB2?AE2?62?22?42．

【答案】42

C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：??x?3?cos?（?为参数）和曲线C2：??1上，则|AB|的

?y?4?sin?最小值为 ．

【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．

【解】曲线C1的方程是(x?3)?(y?4)?1，曲线C2的方程是x?y?1，两圆外离，所以|AB|的最小值为32?42?1?1?3．

【答案】3

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，∠ABC=60，∠BAC?90，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC?90．

（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；

oo2222ouuuruuur（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角

的余弦值． 【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解． 【解】（1）∵折起前AD是BC边上的高， ∴当△ABD折起后， AD⊥DC，AD⊥DB， 又DBIDC?D，∴AD⊥平面BDC， ∵ADü平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC． （2）由∠BDC?90及（1）知DA，DB，DC两两

oruuuuuuruuur垂直，不妨设|DB|=1，以D为坐标原点，以DB，DC，DA所在直线为x,y,z轴建立如图所示的

空间直角坐标系，易得：

D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,3),E(uuuruuur13所以AE?(,,?3)，DB?(1,0,0)，

2213,,0)， 22uuuruuuruuuruuurAEgDB∴cos?AE,DB??uuuruuur?AE?DB121?224?22 22uuuruuur22所以AE与DB夹角的余弦值是．

22 17．（本小题满分12分）

如图，设Ｐ是圆x?y?25上的动点，点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?224|PD|． 54的直线被C所截线段的长度． 5（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为

【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．

【解】（1）设点M的坐标是(x,y)，P的坐标是(xp,yp)， 因为点Ｄ是Ｐ在x轴上投影， Ｍ为PD上一点，且|MD|?2245|PD|，所以xp?x，且yp?y，

452x2y252??1， ∵P在圆x?y?25上，∴x?(y)?25，整理得

25164x2y2??1． 即C的方程是

2516（2）过点（3，0）且斜率为

44的直线方程是y?(x?3)， 55设此直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

x2y24??1得： 将直线方程y?(x?3)代入C的方程

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