中南大学2010数学分析真题

中 南 大 学

2010年硕士研究生入学考试试题 A 32112

考试科目代码及名称: 712 数学分析

一. 计算题(每小题10分，共60分)

111lim(??.....?).222222n??n?1n?2n?n 1. 计算极限

2. 设f(x)具有二阶导数，在x=0的某个去心邻域内f(x)?0，且

limx?0f?x??0,xf''?0??4f(x)??lim?1??x?0x?? 求

1xy2x??2z223. 求曲面 上平行于平面 2x?2y?4z?1?0 的切平面方程，并求切

点处的法线方程.

4. 设

yx?22xarctan?yarctan,xy?0,?xyf?x,y????0,xy?0,?

?x,y?fxy?0xy当 时，求 .

x2y2z2(??)dS??2222234x?y?z?as5. 计算曲面积分 ， 其中S为球面 .

22I??y(x?z)dydz?xdzdx?(y?xz)dxdy???6. 计算 其中?是边长为a的正立方

体的表面，并取外侧.

''?a,b?上连续，且

二. 设 f(x)在

nf?x??1min??x?a,b 证明

limn???bdx??f?x???na?1 (20

分).

22x?y?1所围成的闭区域，求函数f?x,y??x三. 设D是由

?2?y2?ax(a?0)

在 D上的最小值和最大值 (20分).

f?x?f''?x??0四. 已知二阶可导且，试证对任意给定的三个正数 x1,x2,x3, 有 ?x?x?x?1f?123???f(x1)?f(x2)?f(x3)?3??3 ， 并由此证明

3?111??x1x2x3

?3x1x2x3?x1?x2?x33 (20

分) .

f?x?五. 1.试给出函数序列?

fn?x??在区间x上一致收敛于

x的定义；(5分)

f?x??a,b?上可积，且fn(x)??afn?1(t)dt(a?x?b),n?1,2,?,

2.设函数0在

f?x??a,b? 上一致收敛于0. (10分)

证明 ?n?在

六. 已知

???0?axsin?x???esin?xdx?I?a???dx(a?0).0x2 ，求 x (15分)