2017年湖北省十堰市中考数学试卷(含答案解析版)

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧

的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴； （2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：

①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；

②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．

【解答】解：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4； 对称轴是：直线x=﹣1；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3）， 由题意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×AD?OC=×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，

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解得： ，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3， ∴F（0，﹣m﹣3）， ∵C（0，﹣3）， ∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，

∴S△ACE=FC?（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20， m2﹣m﹣20=0， （m+4）（m﹣5）=0， m1=﹣4，m2=5（舍）， ∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P， ∴∠BPF=90°， ∴∠FPG+∠OPB=90°， ∵∠OPB+∠OBP=90°， ∴∠OBP=∠FPG， 连接EP，则EP⊥OG， ∵BE=EF，

∴EP是梯形的中位线， ∴OP=PG=2， ∵FG=1，

tan∠FPG=tan∠OBP= ，

∴=，

∴m=﹣4，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG； 如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG， 则∠OBP=∠OPB=∠FPG，

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∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形， ∴FG=PG=1， ∴OB=OP=3， ∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

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【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、配方法求对称轴、等腰直角三角形的性质和判定、三角形面积的求法，并与圆相结合，根据同角的余角相等解决第3问更简单．

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