高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

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π?π?3．(2018·天津改编)将函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度，所得图象对应5?10?的函数________．(填序号) ①在区间?②在区间?③在区间?④在区间?

?3π，5π?上单调递增；

4??4??3π，π?上单调递减； ?

?4??5π，3π?上单调递增；

2??4??3π，2π?上单调递减． ?

?2?

答案 ①

π?π?解析 函数y＝sin?2x＋?的图象向右平移个单位长度后的解析式为y＝

5?10?

??π?π??3π5π?sin?2?x－?＋?＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为?，?，一个单

4??4??10?5?

调递减区间为?

?5π，7π?.由此可判断①正确．

4??4?

π??4．(2018·全国Ⅲ)函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]上的零点个数为______．

6??答案 3

解析 由题意可知，当3x＋

ππ

＝kπ＋(k∈Z)时， 62

f(x)＝cos?3x＋?＝0.

6

??

π?

?

∵x∈[0，π]， π?π19π?∴3x＋∈?，?，

6?6?6

ππ3π5π

∴当3x＋的取值为，，时，f(x)＝0，

6222π??即函数f(x)＝cos?3x＋?在[0，π]上的零点个数为3.

6??押题预测

π?π?1．已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(x∈R，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了

5?2?得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( ) 3π

A．向左平移个单位长度

20

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3π

B．向右平移个单位长度

20π

C．向左平移个单位长度

5π

D．向右平移个单位长度

5

押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A

π

解析 由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T＝π，

2π?2π?所以ω＝＝2，即f(x)＝sin?2x＋?，g(x)＝cos 2x. 5?T?

π???3π?π??把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin?2x＋?＝sin?2?x＋?＋?，所以要得到函数g(x)的

20?5?2????3π

图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可．故选A.

20

π??2.如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?其中A>0，ω>0，|φ|≤? 与坐标轴的三个交点P，Q，2??

R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝25，则A的值为( )

π

4

A.

8163 B.3 C．8 D．16 33

押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想． 答案 B

解析 由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．

??则M?，－?，由两点间距离公式，得

2??2

PM＝aa?2－a?2＋?a?2＝25， ?2??2?????

解得a1＝8，a2＝－4(舍去)，

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Tπ由此得＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，

26

π由P(2,0)得φ＝－，

3代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)，

?ππ?得f(x)＝Asin?x－?，

3??6?π?从而f(0)＝Asin?－?＝－8， ?3?

16得A＝3.

3

3．已知函数f(x)＝cosx－2sin xcos x－sinx. (1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)＝－

2

，求角x的大小； 2

4

4

?π?(2)当x∈?0，?时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值．

2??

押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式． 解 (1)∵f(x)＝cosx－2sin xcos x－sinx ＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)－sin 2x ＝cos 2x－sin 2x ＝2?

2?2?cos 2x－sin 2x?

2?2?

2

2

2

2

4

4

π??＝2cos?2x＋?， 4??

π?2?∴f(x)＝2cos?2x＋?＝－，

4?2?π?1?可得cos?2x＋?＝－. 4?2?由题意可得x∈(0，π)， π?π9π?∴2x＋∈?，?，

4?4?4π2π4π

可得2x＋＝或，

4335π13π

∴x＝或. 2424

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π?π5π??π?(2)∵x∈?0，?，∴2x＋∈?，?，

2?4?4?4?π??2??∴cos?2x＋?∈?－1，?， 4???2?π??∴f(x)＝2cos?2x＋?∈[－2，1]．

4??π

∴f(x)的最小值为－2，此时2x＋＝π，

43π即x＝.

8

A组 专题通关

1．函数y＝sin x(cos x－sin x)，x∈R的值域是( )

?13?A.?－，? ?22??31?C.?－，? ?22?

答案 D

B.?D.?

?1－21＋2?

，?

2??2

?－1－2－1＋2?，?

2?2?

11－cos 2x2

解析 y＝sin xcos x－sinx＝sin 2x－

22π??－1－2－1＋2?12?＝－＋sin?2x＋?∈?，?， 4??22?22?故选D.

π??2．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(x∈R，ω>0)与g(x)＝cos(2x3??π??＋φ)的对称轴完全相同．为了得到h(x)＝cos?ωx＋?的图象，只需将y＝f(x)的图象3??( )

π

A．向左平移个单位长度

4π

B．向右平移个单位长度

4π

C．向左平移个单位长度

2π

D．向右平移个单位长度

2

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