高考数学二轮复习 专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案

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第1讲 三角函数的图象与性质

[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．

热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式

1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． πsin α??22

2．同角基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tan α?α≠kπ＋，k∈Z?.

2cos α??3．诱导公式：在

yxkπ

2

＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

例1 (1)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，π??2α＋则tan??等于( )

4??11

A．－7 B．－ C. D．7

77答案 A

解析 由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得

y12tan α14

x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝， 2x21－tanα13

1－

4

π4

tan 2α＋tan＋1

43π??∴tan?2α＋?＝＝＝－7.

4?π4?

1－tan 2αtan1－×1

43

?322?π2

(2)已知曲线f(x)＝x－2x－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos?＋α?－2cos

?2?

α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为( )

8442

A. B．－ C. D．－ 5533答案 A

解析 由f(x)＝x－2x－x可知f′(x)＝3x－4x－1，

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322

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∴tan α＝f′(1)＝－2，

?2?π2

cos?＋α?－2cosα－3sin(2π－α)cos(π＋α)

?2?

＝(－sin α)－2cosα－3sin αcos α ＝sinα－2cosα－3sin αcos α sinα－2cosα－3sin αcos α＝ 22

sinα＋cosαtanα－3tan α－2＝ 2

tanα＋1＝

4＋6－28

＝. 55

22

2

2

22

2

思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

5π??5π

跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P?sin，cos?，则sin(π

33??＋α)等于( ) A．－3113

B．－ C. D. 2222

答案 B

解析 由诱导公式可得，

π?5ππ3?sin＝sin?2π－?＝－sin＝－，

3?332?π?5ππ1?2π－cos＝cos?＝cos＝， ?3?332?即P?－

?

?31?，?， 22?

1＝，

3?2?1?22?

?－?＋?2??2???

12

由三角函数的定义可得，sin α＝

1

则sin(π＋α)＝－sin α＝－.

2

?π?sin?π－α?－4sin?＋α??2??3π＋α?，则

(2)已知sin(3π＋α)＝2sin?等于( ) ?5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α??2?

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1111A. B. C. D．－ 2366答案 D

解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin?

?3π＋α?，

?

?2?

∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，

?π?sin?π－α?－4sin?＋α?

sin α－4cos α?2?

则＝ 5sin?2π＋α?＋2cos?2π－α?5sin α＋2cos α＝

2cos α－4cos α－21

＝＝－. 10cos α＋2cos α126

热点二 三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：

π3π

设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．

22(2)图象变换：

向左?φ>0?或向右?φ<0?

(先平移后伸缩)y＝sin x―――――――――――→y＝sin(x＋φ) 平移|φ|―个单位长度1

横坐标变为原来的?ω>0?倍

ω―――――――――――――→ y＝sin(ωx＋φ) 纵坐标不变纵坐标变为原来的A?A>0?倍

―――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变1

横坐标变为原来的?ω>0?倍

ω(先伸缩后平移)y＝sin x――――――――――→ 纵坐标不变向左?|φ>0?或右?φ<0?φ|y＝sin ωx平移―――――――→y＝sin(ωx＋φ) 个单位长度

ω纵坐标变为原来的A?A>0?倍――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)． 横坐标不变

π??例2 (1)已知函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos

3??

ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象( )

π

A．向左平移个单位长度

12π

B．向右平移个单位长度

125π

C．向左平移个单位长度

12

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5π

D．向右平移个单位长度

12答案 A

解析 由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π， π??所以ω＝2，即f(x)＝sin?2x＋?，g(x)＝cos 2x. 3??

π???π?π??把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin?2x＋?＝sin?2?x＋?＋?，所以只要将f(x)的图象

2????12?3?π

向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.

12

(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向5π?π?右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间?－，θ?上的值域为[－

12?6?1,2]，则θ＝________.

答案

π 3

解析 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如题图所示，

T13π7ππ

则A＝2，＝－＝，解得T＝π，

212122

所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)， 7

当x＝π，f 12∴

?7π?＝2sin?2×7π＋φ?＝2， ?12???12????

7ππ2

＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝－π＋2kπ，k∈Z， 623

2π又|φ|<π，解得φ＝－，

32π??所以f(x)＝2sin?2x－?， 3??

5π

因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，

12所以g(x)＝2sin?2?x－????

5π?2π?－＝2cos 2x， 12??3??

?π?若函数g(x)在区间?－，θ?上的值域为[－1,2]， ?6?

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