福建省福州市2017-2018学年高一下学期期末质量检测数学试题 及答案

三角形AOB是等边三角形，则不妨以O为原点，以OA方向为x轴正方向，建立坐标系，如图 则

=（1，0），

又 ， 0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，

令 =（x，y），则 =（λ1+λ2，λ2）

由于0≤λ1≤1，1≤λ2≤3，

∴

其表示的平面区域是一个平行四边形， 由图可知阴影部分的面积为故答案为：B.

点睛：本题主要考查平面区域的面积问题，是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分） 13. 已知【答案】

，

，

，

，且

，

，则向量与的夹角是__________．

．

【解析】分析：根据向量的模长得到参数值，再由向量的夹角公式得到结果. 详解：

，

则得到m=

,

,得到n=

。

向量与的夹角设为故得到角为.

点睛：这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合. 14.

__________．

【答案】

【解析】分析：利用诱导公式化简，再利用两角差的正弦即可求值． 详解：原式=

=

=

故答案为：.

点睛：本题考查利用诱导公式化简求值，考查两角差的正弦的应用，属于基础题． 15. 如图，在半径为2的圆不共线，且

中，为圆上的一个定点，对

恒成立，则

为圆上的一个动点.若点、

__________．

、

【答案】4

【解析】分析：两边平方，设

=m，整理可得2t2﹣tm﹣（m-2）≥0，再由不等式恒成

立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．

详解：∵∴

两边平方可得：

2

，

﹣2t+

22

t≥

2

﹣2+

2

，

设=m，则有：2t2﹣tm﹣（m-2）≥0，

则有判别式△=m2-8（m-2）≤0， 化简可得（m﹣4）≤0，即m=4， 即有

=4，

2

故答案为：4．

点睛：本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 16. 设函数则

的值是__________．

（其中、、、为非零实数），若

，

【答案】1

【解析】分析：由条件利用诱导公式求得﹣asinα﹣bcosβ=1，再利用诱导公式化简 f（2010）=asinα+bcosβ+4，运算求得结果．

详解：∵f（2001）=asin（2001π+α）+bcos（2001π+β）+3=asin（π+α）+bcos（π+β）+3=﹣asinα﹣bcosβ+3=5，

∴﹣asinα﹣bcosβ=2，故 f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）+3=asinα+bcosβ+3=﹣2+3=1， 故答案为：1.

点睛：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于中档题．三角函数化简求值，还有常用的公式有：一般

，可以知一求三.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知

.

，

，这三者我们成为三姐妹，结合

（1）求的值；

（2）求【答案】（1）

；（2）1

的值.

【解析】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把

代入到展开后的式子中，即可求出所求答案。

（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以

，得到关于

的式子，代入

，即可得到答案。

试题解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）原式

．

考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用 18. 已知向量与的夹角为（1）计算：

；

. ，且

，

.

（2）当为何值时，【答案】（1）

；（2）

详解：