人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案

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1.2.1.任意角的三角函数(一)

学习目标.1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.

知识点一.任意角的三角函数

使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.

思考1.角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案.sin α＝，cos α＝，tan α＝.

思考2.对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？

答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.

思考3.在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案. sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 梳理.(1)单位圆

在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y；

②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ (x≠0).

对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以

yrxryxyxyxyx....

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单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域

思考.对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？

答案.由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时无意义，故tan α无意义. 梳理.三角函数的定义域

函数名 正弦函数 余弦函数 正切函数

知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.当α为第一象限角时，y>0， x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.

定义域 R R ??π?x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z? 2??yxyx

梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四.诱导公式一

思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？

答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理.诱导公式一 sin?α＋k·2π?＝sin α， cos?α＋k·2π?＝cos α， tan?α＋k·2π?＝tan ....

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α， 其中k∈Z.

类型一.三角函数定义的应用

命题角度1.已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1.已知θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝解.由题意知r＝|OP|＝x＋9， 由三角函数定义得cos θ＝＝210

x，求sin θ，tan θ. 10

xrx . x2＋9

又∵cos θ＝10x10x，∴2＝x. 10x＋910

∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)， 此时sin θ＝3103

＝，tan θ＝＝3. 22

1011＋33

当x＝－1时，P(－1，3)， 此时sin θ＝3103＝，tan θ＝＝－3.

10－1?－1?＋3

2

2

3

反思与感悟.(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.

②在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝

yrx.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. r(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.

跟踪训练1.已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解.r＝?－3a?＋?4a?＝5|a|.

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

2

2

y4a4x－3a3

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

r5a5r5a5

....

....

83

∴2sin α＋cos α＝－＝1.

55

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， 4a4－3a3

sin α＝＝－，cos α＝＝，

－5a5－5a583

∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.

55综上所述，2sin α＋cos α＝±1.

命题角度2.已知角α终边所在直线求三角函数值 例2.已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋解.由题意知，cos α≠0.

设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则

3

的值. cos α

x＝k，y＝－3k，r＝ k2＋?－3k?2＝10|k|.

(1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角， sin α＝＝yr－3k3101r10k＝－，＝＝＝10，

10cos αxk10k3?310?

∴10sin α＋＝10×?－?＋310

cos α?10?＝－310＋310＝0.

(2)当k<0时，r＝－10k，α是第二象限角，

y－3k310

sin α＝＝＝，

r－10k10

1r－10k＝＝＝－10， cos αxk3310∴10sin α＋＝10×＋3×(－10)

cos α10＝310－310＝0.

3

综上所述，10sin α＋＝0.

cos α

反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝ba2＋b，cos α＝2

aa2＋b，tan α＝. 2

ba跟踪训练2.已知角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.因为角α的终边在直线y＝3x上，

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