2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数与其应用(五)

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参考答案

46.解： （Ⅰ）证法 1：由求根公式得： x1

a

a2 16 2 a

a

a2 16 2

a 2 2

因为 a

0 ，所以，一方面： x1

0 ，???????4 分 a2

2

(a 4)

x1 2

a2 2

16

a 2 16 8a

16

另一方面，由

0 ，

得 x1 2. 于是， 2 x1 0.

??????????7 分

证法 2：因为 f (x) 在区间 (

, ) 上单调递减，在 ( ,

2

aa) 上单调递增，

2

所以，当 a 又因为： f (

0 时， f (x) 在区间（ -2,0）上单调递减 . ?????????4 分

2) f (0) ax 4, x 2x 2 ax ax 4, x

2a ( 4)

x1; 4, x1

x2 .

x

0 ，所以：

2 x1 0 ． ??????????7 分

(Ⅱ ) g (x)

x2 ;

?????????? ９分

若 a

0, 则 g(x)在（ - ，x1 ) 上单调递减，从而 g(x) 在区间 (

, 2) 上不可能单调递增，

于是只有 a 当 a

0 .

??????????分 11

0 时，由（ 1）知：

2 x1 0 ，于是，由 g(x) 在 (

, x1 ) 上单调递增可知，

13分

g( x) 在 ( , 2) 也是单调递增的．

??????????

又因为 g (x) 在 ( , x2 ) 和 ( x2 ,

a) 均单调递增，结合函数图象可知，

4

g (x)在 ( , ) 上单

4

a

调递增，于是，欲使 g(x) 在（ 2，+

）上单调递增，只需

a

，亦即 a 8 ． 2

4

综上所述， a的范围是 a

(0,8] .

??????????分 15

47.（Ⅰ）定义域

x (0, )

f (x)

2x

1

1

2x2

x 1 x

0

x 0 即 0

即 2x2

x 1

x 1

f ( x) 的增区间为 (0,1) ，减区间为 (1, )

9

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48.（ I）由题意，

---- （Ⅱ） f (x)

x2

ax ln x 0 即 a

x ln x

x 令 g( x)

xln x

，其中 x [ 1 , e] x e

1

x

x

x ln x 2

ln x 1 g ( x)

1

2

x

2

x

0 即 x 1

g( x) 的减区间为

[ ,1) 1 ，增区间为 (1, e]

e

g( x) min g (1) 1

又 g(1

1 )

e

， g (e) e 1

e

e1

e

函数 f (x) 在 [ , e] 有两个零点，

则 a 的取值范围是

(1,e ]1

e

1

F ( x) 定义域 (0, ) ?????????? .分2 a

不妨假设存在，则

F (x)

ln( ax

1)

x x2 ax

ln x, x

(0, 1)

a

当 x (0,

1 ) 时， x2 ax x2 ax

a

F (x) ln( ax

1) x x2 ax ln x

ln( ax 1) ln x ax

x x 2, ? .3分

F ' ( x)

a 1 a 1 2x

ax 1 x

令 F' (1) a 1 2 1 a 1 则 a 1 或 a （舍）1 ??????????5 a 1 2 2

当 a 1 时， (0,1 )

(0, 2), x 1 (0, 2)

2 a

存在， a

1

??????????

.分6

2

（II ）（方法一） f ( x) ln( ax b) x 0

① 当 ab

0 时，定义域 (

， ) ，则当 x

时， f ( x)

，不符； ? .7 分

a

10

----- 分

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a( x a

1

b )

② 当 a

0 时， f ' (x)

当

b a

x

a ba

a ax b

'a

ax b

（ ax

b

0 ）

时， f ( x)

0 ；当 x

a b

a

时， f ' ( x) 0

∴ f ( x) 在区间 (

b a

，

b

) 上为增函数，在区间 a

a b

(

，

) 上为减函数

a

∴

f ( x) 在其定义域 ( ，

b

a

) 上有最大值，最大值为

f ( ab)

由 f (x)

0，得 f (

a b

a

a

a

) ln a

a b a

0

∴ b a ∴ a(a 设 h( a)

a ln a

b) 2a2 a2 ln a ?????????? 2a2 a2 ln a ，则 h ( a)

3

.. ???? 分.12

4a (2a ln a

3

a)

a(3

2ln a) 。

∴ 0 a e2 时， h (a)

3

0 ； a e2 时， h (a) 0

3

∴ h(a) 在区间 (0 ，e2 ) 上为增函数，在区间

(e2 ， ) 上为减函 ?? .14 分 e3

3

3

3 e

∴ h(a)

的最大值为 h( e ) 2e

2

3

，此时 a

e ,b

23

e2 2

3

. ?? .15分

2 2

（方法二）

f ( x) ln( ax b) x 0 ，则 ax

b ex . 由 y ax b 和 y ex 的图像易得

a 0. ?? .7分

且直线斜率 a 小于等于如图中 y ex 的切线斜率（切线过点

(

b

,0) ）

a

11

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设切点 ( x0 , ex0 )

(ex ) ' ex ，令 ex 图像在 x

代入直线，只要 ∴ b ∴ a(a 设 h( a)

x0 处切线斜率为 a ，则 ex0 a, x0

ln a ，即切点 (ln a,a)

a ln a b a 即可

a a ln a ??? .. ?? .12分

b) 2a2

a2 ln a

2a2 a2 ln a ，则 h ( a)

3

4a (2a ln a a)

3

a(3 2ln a)

∴ 0 a e2 时， h (a)

3

0 ； a

e2 时， h (a) 0

3

∴ h(a) 在区间 (0 ，e2 ) 上为增函数，在区间 (e2 ，

) 上为减函数 ????? .14分

3

3

e

∴ h(a) 的最大值为 h( e )

2

3

2e

3

e3 2

，此时 a

e ,b

23

e2 2

3

. ? .. ?? .15分

2

49.（Ⅰ）

f ' x

ln x 1

2b x

1 2

?? (2分)

又 f ' 1 1 b 3

x 1, f (x) ln 1 4 1

函数 f (x) 在 [1, （Ⅱ）

b 2, f ( x) ln x 3 0

4x 1

?? (4分 )

?? (6分) ?? (7分)

) 上单调递增

f (x)

x ln x 2( x 1 )2

2

x ln x 2( x 1) 2

2

?? (9分)

令 g x

x ln x，则 g' x 1 ln x . 令 g ' x

0可得： x

e 1 .

g x 在 0，e 1

0 x

上递减，e 1，+ 上递增

g x

?? (11 分) ?? (12分 )

1

e 1

0, g x

2

1 1 e 2

1

2

又

0 x 1时，2 x

1

=2 x

1

?? (14 分 )

f x 1

?? (15 分 )

2 2 2

50.（ I）解：函数的定义域为（

0， +00）， f ’（ x） =a-

a x

2 2

x 2 x 3

（ ax 2 2）（ x - 1）

F’（ x） =

x

3

12

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