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(寒假总动员)2015年高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用(二)(学)

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专题14 导数在研究函数中的应用(二)

学一学------基础知识结论 1.可导函数的极值

xx(1)极值的概念:设函数f(x)在点0附近有定义,且若对0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))f(x0)为函数的一个极大(小)值,称x0为极大,则称

(小)值点.

(2)求可导函数f(x)极值的步骤:

/???f(x)f(x)?0f①求导数。求方程的根. ②求方程(x)?0的根.③检验f(x)在方程

f?(x)?0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y?f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负,那么函数y?f(x)在这个根处取得极小值.

?温馨提醒:在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数f(x)取值为0的点称为函数f(x)的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数y?|x|?在点x?0处有极小值f(0)=0,可是这里的f(0)根本不存在,所以点x?0不是f(x)的

驻点.

(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数f(x)?x的导数

3f?(x)?3x2,在点x?0处有f?(0)?0,即点x?0是f(x)?x3的驻点,但从f(x)在

???,???上为增函数可知,点x?0不是f(x)的极值点.

(2) 求一个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格,这样可使函

数在各单调区间的增减情况一目了然. 2.函数的最大值和最小值

(1)设y?f(x)是定义在区间?a,b?上的函数,y?f(x)在(a,b)内有导数,求函数

y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值,可分两步进行.

①求y?f(x)在(a,b)内的极值.

②将y?f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

(2)若函数f(x)在?a,b?上单调增加,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;

若函数f(x)在?a,b?上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 温馨提醒:极大(小)值与最大(小)值的区别与联系:极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 3. 生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是: 优化问题

建立数学模型

用导数解决数学问题

优化问题答案

温馨提醒:在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数,它在自己的定义域内必然可导),并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 学一学------方法规律技巧 1.求函数的极值,最值

极值与极值点在概念上的区别,这是解题的一个易错点;在用导数求函数极值时,要养成求导之后列表的好习惯.一个常用的结论:如果函数图象是连续不断的,在开区间

(a,b)内只有一个极值,则该极值就是它的最值.

例1已知函数f(x)?lnx,g(x)?a(x?x)(a?0,a?R),h(x)?f(x)?g(x) (1)若a?1,求函数h(x)的极值;(2)若函数y?h(x)在[1,??)上单调递减,求实数a的取值范围.

【答案】(1)极大值h(1)?0,无极小值;(2)【解析】(1)y?h(x)的定义域为(0,??),

2?1,???;(3)不存在符合题意的两点.

1(2x?1)(x?1)?2x?1??xx,

h?(x)??? 故x?(0,1)h(x)?0,h(x)单调递增;x?(1,??)h(x)?0,h(x)单调递减,

2.利用导数研究函数

2f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3. 例2、已知

[t,t?1](1)求函数f(x)在(t?0)上的最小值;

(2)对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立,求实数a的取值范围;

所以

h(x)h(?1),4对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立,所以mi?na?h(x)min?4.

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专题14 导数在研究函数中的应用(二) 学一学------基础知识结论 1.可导函数的极值 xx(1)极值的概念:设函数f(x)在点0附近有定义,且若对0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)(或f(x)?f(x0))f(x0)为函数的一个极大(小)值,称x0为极大,则称(小)值点. (2)求可导函数f(x)极值的步骤: /???f(x)f(x)?0f①求导数。求方程的根. ②求方程(x)?0的根.③检验f(x)在方程f?(x)?0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y?f(x)在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负,那么函数y?f(x)在这个根处取得极小值. ?温馨提醒:在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数f(x)取值为0的点称为

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