（寒假总动员）2015年高二数学寒假作业 专题14 导数在研究函数中的应用（二）（学）

专题14 导数在研究函数中的应用（二）

学一学------基础知识结论 1.可导函数的极值

xx（1）极值的概念：设函数f(x)在点0附近有定义，且若对0附近的所有的点都有f(x)?f(x0)（或f(x)?f(x0)）f(x0)为函数的一个极大（小）值，称x0为极大，则称

（小）值点.

（2）求可导函数f(x)极值的步骤:

/???f(x)f(x)?0f①求导数。求方程的根. ②求方程(x)?0的根.③检验f(x)在方程

f?(x)?0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y?f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y?f(x)在这个根处取得极小值.

?温馨提醒：在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数f(x)取值为0的点称为函数f(x)的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数y?|x|?在点x?0处有极小值f(0)=0，可是这里的f(0)根本不存在，所以点x?0不是f(x)的

驻点.

(1) 可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数f(x)?x的导数

3f?(x)?3x2，在点x?0处有f?(0)?0，即点x?0是f(x)?x3的驻点，但从f(x)在

???,???上为增函数可知，点x?0不是f(x)的极值点.

(2) 求一个可导函数的极值时，常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函

数在各单调区间的增减情况一目了然. 2.函数的最大值和最小值

（1）设y?f(x)是定义在区间?a,b?上的函数，y?f(x)在(a,b)内有导数，求函数

y?f(x)在?a,b?上的最大值与最小值，可分两步进行.

①求y?f(x)在(a,b)内的极值.

②将y?f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

（2）若函数f(x)在?a,b?上单调增加，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；

若函数f(x)在?a,b?上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. 温馨提醒：极大（小）值与最大（小）值的区别与联系：极值是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是有区别的.极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间(a,b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值. 3. 生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路是： 优化问题

建立数学模型

用导数解决数学问题

优化问题答案

温馨提醒：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 学一学------方法规律技巧 1．求函数的极值，最值

极值与极值点在概念上的区别，这是解题的一个易错点;在用导数求函数极值时，要养成求导之后列表的好习惯．一个常用的结论：如果函数图象是连续不断的，在开区间

(a,b)内只有一个极值，则该极值就是它的最值．

例1已知函数f(x)?lnx，g(x)?a(x?x)(a?0,a?R)，h(x)?f(x)?g(x) （1）若a?1，求函数h(x)的极值；（2）若函数y?h(x)在[1,??)上单调递减，求实数a的取值范围.

【答案】（1）极大值h(1)?0，无极小值;（2）【解析】（1）y?h(x)的定义域为(0,??)，

2?1,???;（3）不存在符合题意的两点.

1(2x?1)(x?1)?2x?1??xx，

h?(x)??? 故x?(0,1)h(x)?0,h(x)单调递增；x?(1,??)h(x)?0,h(x)单调递减，

2.利用导数研究函数

2f(x)?xlnx,g(x)??x?ax?3. 例2、已知

[t,t?1]（1）求函数f(x)在(t?0)上的最小值；

（2）对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

所以

h(x)h(?1)，4对一切x?(0,??),2f(x)?g(x)恒成立，所以mi?na?h(x)min?4.