2011届高考数学第一轮复习立体几何专题题库36

411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合. 证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α. ∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β. ∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内. 已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点. 求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P， ∴ l1,l2确定平面α.

又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α. 故 l3?α. 同理 l4?α.

∴ l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面. 所以结论成立.

413. 证明推论3成立.（如图）

已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.

证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个. (唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.

∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.

414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?

解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.

415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.

解答：已知：Aa，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面. 证明：∵Aa，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，a?α. ∴B、C、D∈α 又A∈α.

∴AB、AC、AD?α. 即AB、AC、AD共面.

416. 空间可以确定一个平面的条件是( ) A.两条直线 B.一点和一直线 C.一个三角形 D.三个点

解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.

417. 下列命题正确的是( ) A.经过两条直线有且只有一个平面

B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面

D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 解析：根据公理2、公理3知选D.

418. 已知四点，无三点共线，则可以确定( ) A.1个平面 B.4个平面 C.1个或4个平面 D.无法确定

解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )

A.4 B.3 C.2 D.5

22

解析： 如图，设球的半径是r，则πBD＝5π，πAC＝8π，

22

∴BD＝5，AC＝8.又AB＝1，设OA＝x. 2222∴x+8＝r,(x+1)+5＝r. 解之，得r＝3 故选B.

420. 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.

解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO1O2O3的中心，连接O1H，O1O，在RtΔO1OH中，O1H＝

23，3OH＝1-r,OO1＝1+r,∴OO1＝O1H+OH，即(1+r)＝(

2222

12322

)+(1-r)，解得r＝.

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