2019-2020学年人教版九年级数学第一学期期末考试试题及答案

24．（1）证明：连接OD，如图所示． ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB．

∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴∠ODB+∠BDC＝90°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠OBD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD＝∠BDC．

（2）解：∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CDB， ∴△CDB∽△CAD， ∴

＝

．

∵BD＝AD， ∴∴

＝， ＝，

又∵AC＝3， ∴CD＝2．

25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，

∴﹣＝3，解得：a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4． 当y＝0时，﹣x2+x+4＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣x2+x+4＝4， ∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，

，解得：

，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．

假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示． ∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣

x2+2x，

∴S△PBC＝PD?OB＝×8?（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，

∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16． ∵0＜x＜8，

∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．

（3）设点M的坐标为（m，﹣m2+m+4），则点N的坐标为（m，﹣m+4）， ∴MN＝|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|＝|﹣m2+2m|． 又∵MN＝3， ∴|﹣m2+2m|＝3．

当0＜m＜8时，有﹣m2+2m﹣3＝0， 解得：m1＝2，m2＝6，

∴点M的坐标为（2，6）或（6，4）； 当m＜0或m＞8时，有﹣m2+2m+3＝0， 解得：m3＝4﹣2

，m4＝4+2

，

∴点M的坐标为（4﹣2，﹣1）或（4+2，

，﹣﹣1）．

，﹣

﹣1）．

综上所述：M点的坐标为（4﹣2﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+2