湖南师大附中2019届高三月考试卷(七)教师版数学(理)Word版含解析

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解法二：因为kOA·kOB＝－2<0，设kOA＝k≠0，则kOB＝－2k.(6分) y1y233

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2＝－2，即y1y2＝－2x1x2， 1→→

所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝－2x1x2.(7分)

y＝kx，??8由?x2y2得x2＋2k2x2＝8，即(2k2＋1)x2＝8，所以x21＝.(8分)

2k2＋1＋4＝1，??8同理，x2＝

816k2

＝.(9分) 22k2＋9?3?2?－2k?＋1??

8×16k28×16k2

＝＝

（2k2＋1）（2k2＋9）4k4＋20k2＋9

8×16

.(10分) 9

4k2＋k2＋20

所以x21x2＝

9因为4k2＋k2≥20

9962

4k2·＝12，当且仅当4k＝，即k＝±k2k22时取等号，则

→·→的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．(12

即－2≤x1x2≤2，且x1x2≠0，所以OAOB分)

21．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln x－kx，其中k∈R为常数． (1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个相异零点x1，x2(x12－ln x1. 1－kx1

【解析】(1)f′(x)＝x－k＝x(x>0)，(1分)

①当k≤0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2分)

1?1?

②当k>0时，由f′(x)>0，得0

???1?

间?k，＋∞?上单调递减．(5分) ??

(2)因为x1，x2是f(x)的两个零点，则ln x2－kx2＝0，ln x1－kx1＝0， 所以ln x2－ln x1＝k(x2－x1)，ln x1＋ln x2＝k(x1＋x2)．(7分) 要证ln x2>2－ln x1，只要证ln x1＋ln x2>2，即证k(x1＋x2)>2，

即证

ln x2－ln x12（x2－x1）

(x2＋x1)>2，即证ln x2－ln x1>，只要证

x2－x1x2＋x1

x22（x2－x1）

lnx1>.

x2＋x1

2（t－1）x2

设t＝x1(t>1)，则只要证ln t>(t>1)．(10分)

t＋1

2（t－1）（t－1）2

设g(t)＝ln t－，则g′(t)＝>0，所以g(t)在(1，＋∞)上单调

t＋1t（t＋1）2递增．

2（t－1）

所以g(t)>g(1)＝0，即ln t>，所以ln x1＋ln x2>2，即ln x2>2－ln x1.(12

t＋1分)

(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

??x＝1＋cos α，

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为?(α为参数).

?y＝sin α?

以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)设动直线l：y＝kx(x≠0，k≠0)分别与曲线C1，C2相交于点A，B，求当k为何值时，|AB|取最大值，并求|AB|的最大值．

【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入，

得ρ2－2ρcos θ＝0，所以曲线C1的极坐标方程是ρ＝2cos θ.(3分) 由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ.将ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y代入，得x2＋y2＝23y，

所以曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2－23y＝0.(5分)

?x＝tcos α，

(2)解法一：设直线l的倾斜角为α，则l的参数方程为?(t为参数，

?y＝tsin α且t≠0). (6分)

将l的参数方程代入曲线C1的普通方程，得t2－2tcos α＝0，则tA＝2cos α.(7分)

将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得t2－23tsin α＝0，则tB＝23sin α.(8分)

π????

所以|AB|＝|tA－tB|＝|2cos α－23sin α|＝4?cos?α＋3??，(9分)

????

π??π??

据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈?0，2?∪?2，π?，

????

2π

所以当α＝3，即k＝tan α＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分) 解法二：设直线l的倾斜角为α，则l的极坐标方程为θ＝α(ρ≠0)．(6分) 设点A，B的极坐标分别为A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则ρ1＝2cos α，ρ2＝23sin α.(8分)

π????

所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|2cos α－23sin α|＝4?cos?α＋3??.(9分)

????

π??π??

据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈?0，2?∪?2，π?，

????

2π

所以当α＝3，即k＝tan α＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分) 解法三：将y＝kx(x≠0)代入曲线C1的普通方程，得x2＋k2x2－2x＝0(x≠0)，则xA＝

2

.(6分) k2＋1

将y＝kx(x≠0)代入曲线C2的直角坐标方程，得x2＋k2x2－23kx＝0(x≠0)，23k

则xB＝.(7分)

k2＋1

所以|AB|＝|xA－xB|·

k2＋1＝|

2|3k－1|223k

－|·k2＋1＝＝k2＋1k2＋1k2＋1

2

（3k－1）2

(k≠0)．(8分)

k2＋1

令

（3k－1）2

＝m，则(m－3)k2＋23k＋m－1＝0. 据题意，该方程有非零

k2＋1

实数解，

?m≠3，

则m＝3或?解得0≤m≤4，所以|AB|＝2m

?Δ＝12－4（m－3）（m－1）≥0，≤4.(9分)

当m＝4时，k2＋23k＋3＝0，即(k＋3)2＝0，得k＝－3. 所以当k＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－5|.

(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3； (2)若a<0，求证：f(ax)－f(5a)≥af(x)．

【解析】(1)不等式化为|x－5|＋|x－3|≤3.(1分)

5

当x<3时，原不等式等价于－2x≤－5，即2≤x<3；(2分) 当3≤x≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x≤5；(3分) 11

当x>5时，原不等式等价于2x－8≤3，即5

?511?综上，原不等式的解集为?2，2?.(5分)

??

(2)证明：由题意得

f(ax)－af(x)＝|ax－5|－a|x－5|＝|ax－5|＋|－ax＋5a|≥|ax－5－ax＋5a|＝|5a－5|＝f(5a)，

所以f(ax)－f(5a)≥af(x)成立．(10分)