平面几何问题的复数解法 许兴华

530021广西南宁三中 许兴华文集

注: 本文曾发表于是1993.6江西《中学数学研究》

平面几何问题的复数解法.许兴华

复数是高中数学的重要内容之一,在中学数学中,有许多数学问题,如果我们能够根据题目的具体特征,将其转化为复数问题,那么这类数学问题往往可以得到复巧解妙证.

用复数方法解解平面几何的基本思路是,首先运用复数表示复平面上的点,然后利用复数的模和幅角的有关性质,复数运算的几何意义以及复数相等的条件,化几何问题为复数问题来处理. 1.用于证三角形为正三角形

典型1.求证:若三角形重心与其外心重合,则该三角形必 为正三角形.

证明思路分析 以三角形的相重合的外心(重心),为原点O建立起复平面上的直角坐标系.设Z1,Z2,Z3表示三角形的三个顶点,其对应的复数是z1,z2,z3.因O为外心,故|z1|?|z2|?|z3|?r,又O为重心，故z1?z32?z3即z1?z2?z3?0,于是由z1?z2??z3,得|z3|2?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2?z1z2?z1z2,即z1z2?z1z2??r2,

? |z3|2?|z1?z2|2?(z1?z2)(z1?z2)?|z1|2?|z2|2?(z1z2?z1z2),? |z1-z2|?3r.

?(z1?z2)(z1?z2)?0,

同理可得：? |z3-z2|? |z3-z1|?3r.

故z1,z2,z3在复平面上是正三角形.

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注: 本文曾发表于是1993.6江西《中学数学研究》

2.用于证明几何中的角度相等

典型2.已知正方形OBCD中（如图），E是CD的中点，F是CE的中点，求证：?DOC?1?FOB.

2证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设

13|OD|?1,则OD?1,OE?1?i,OF?1?i,OB?i, 24???DOE是OD与OE的夹角，有

224??arg(1?1i), 2??arg(1?1i)2?arg(3?i),又

???FOB?arg?arg[16(3?i)],2541?3i4i

1?2???,即?DOC??FOB2.

3.用于证明几何中的不等式

典型3.在凸四边形ABCD中，求证：AB?CD证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设C,D,A对应的复数分别是

z1,z2,z3.则

?AD?BC?AC?BD.

|DB|?|z2|,|CA|?|z1?z3|,|AB|?|z3|,|CD|?|z1?z2|,|AD|?|z2?z3|,

?|AB|?|CD|?|AD|?|BC|?|z3|?|z1?z2|?|z2?z3|?|z1| ?|z1z3?z2z3|?|z1z2?z1z3|?|z2(z1?z3)|?|AC|?|BD|.

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注: 本文曾发表于是1993.6江西《中学数学研究》

4.用于求解几何中的轨迹问题

典型4.如图，A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正三角形APQ，求点Q的轨迹.

证明思路分析 建立如图所示的复平面上的直角坐标系，设

|AC|?a,圆的半径为

r,AP?z1,AQ?z?x?yi(x,y?R),则

|z1?a|?r,z1?z(cos60??isin60?).于是，

|z(cos60??isin60?)?a|?r,即 |(x?yi)(1?3i)?a|?r,整理得：

22(x?a)2?(y?3)2?r2??(*)22

因此，点Q的轨迹是圆：当点Q在AP上方时，(*)式取“－”号； 当点Q在AP下方时，(*)式取“＋”号.

典型5.设A是定圆C外的一点，P是定圆C上的一动点，以AP为一边作正方形APMN，求点M的轨迹.

此题的证明思路分析完全类似于“典型4”，有兴趣的读者可试一试。

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注: 本文曾发表于是1993.6江西《中学数学研究》

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