计量第二次作业

第三章

1．观察下列方程并判断其变量是否呈线性？系数是否呈线性？或都是？或都不是？

1) Yi??0??1Xi3??i 2) Yi??0??1logXi??i 3) logYi??0??1logXi??i 4) Yi??0??1(?2Xi)??i 5) Yi??0??i ?1Xi6) Yi?1??0(1?Xi?1)??i 7）Yi??0??1X1i??2X2i10??i

解：（1）（2）（3）（7）变量非线性，系数线性。（4）变量线性，系数非线性。（5）（6）变量和系数均为非线性。

2．多元线性回归模型与一元线性回归模型有哪些区别？

解：一元线性是说一个解释变量对被解释变量的影响。多元线性则是多个解释变量对被解释变量的影响。多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几个方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性回归模型比一元线性回归模型多了个“解释变量之间不存在线性相关关系”的假定；三是多元线性回归模型的参数估计式的表达更为复杂。计算一元线性回归方程的最小二乘法是整个回归思想中的核心。在多元线性回归方程中，由于变量的增多，最普遍的会出现异方差性，还会有时序性等影响着回归方程的拟合度。 3．为什么说最小二乘估计量是最优的线性无偏估计量？多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计的条件是什么？

解：在满足经典假设的条件下，参数的最小二乘估计量具有线性性、无偏性以及最小性方差，所以被称为最优线性无偏估计量（BLUE）。对于多元线性回归最小二乘估计的正规方程组，能解出唯一的参数估计量的条件是解释变量间不完全线性相关。

4．多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 解：随机误差项零均值，同方差，无序列相关且服从正态分布。解释变量非随机，

如果是随机的，不能与随机误差项相关，解释变量之间不存在共线性。 5．在多元线性回归分析中，t检验与F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价的作用？

解：t检验是检验各个参数的显著性，F检验是检验回归整体的显著性。F检验通过威逼t检验通过。但在一元回归模型中，二者是等价的，因为两者都是对共同的假设——解释变量参数等于0。

6．对模型yi??0??1x1i??2x2i????kxki?ui应用OLS法，得到回归方程如下：

????x???x?????x ?i??y011i22ikki?i?i?0 ?i与y?i不相关，即：?y要求：证明残差?i?yi?y

7．下表给出三变量模型的回归结果： 方差来源 平方和（SS） 自由度（d.f.） 65965 来自回归—

来自残差_— —

66042 14 总离差(TSS) 要求：（1）样本容量是多少？

解：n=14+1=15 （2）求RSS？

解：RSS=TSS-ESS=66042-65965=77 （3）ESS和RSS的自由度各是多少？ 解：ESS自由度=k=3，RSS自由度=n-k-1=11 （4）求R2和R？

解：R2=ESS/TSS=0.9986，R=1-（1-R2）（n-1）/（n-k-1）=0.9982 （5）检验假设：X2和X3对Y无影响。你用什么假设检验？为什么？

解：F检验做整体判别

（6）根据以上信息，你能否确定X2和X3各自对Y的贡献吗？

解：不能，不知道回归参数具体值，只能判断联合起来的线性影响

8.下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。数据

22平方和的均值— — 为美国40个城市的数据。模型如下：

housing??0??1density??2value??3income??4popchang

??5unemp??6localtax??7statetax??式中housing——实际颁发的建筑许可证数量，density——每平方英里的人口密度，value——自由房屋的均值（单位：百美元），income——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang——1980~1992年的人口增长百分比，unemp——失业率，localtax——人均交纳的地方税，statetax——人均缴纳的州税 变量 模型A 模型B 模型C 模型D C 813 (0.74) -392 (0.81) -1279 (0.34) -973 (0.44) Density 0.075 (0.43) 0.062 (0.32) 0.042 (0.47) Value -0.855 (0.13) -0.873 (0.11) -0.994 (0.06) -0.778 (0.07) Income 110.41 (0.14) 133.03 (0.04) 125.71 (0.05) 116.60 (0.06) Popchang 26.77 (0.11) 29.19 (0.06) 29.41 (0.001) 24.86 (0.08) Unemp -76.55 (0.48) Localtax -0.061 (0.95) Statetax -1.006 (0.40) -1.004 (0.37) RSS 4.763e+7 4.843e+7 4.962e+7 5.038e+7 R2 0.349 0.338 0.322 0.312 1.488e+6 1.424e+6 1.418e+6 1.399e+6 ?2 ?AIC 1.776e+6 1.634e+6 1.593e+6 1.538e+6 （1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为

双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？

解：在10%的置信区间上，A的系数的P值都大于0.1，应该接受原假设，认为它们不显著不为0，可以去掉这些变量。

（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：?I =0(i=1,5,6,7)。说明

被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你的结论。

解：检验统计量F= R2（n-k-1）/k(1- R2)=0.402,F(4,3)=4.19,所以接受零假设。 （3） 哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。 解；；模型C的P值较好，拟合的较好。

（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。说明你的预期符号并解释原因。确认其是否为正确符号？

解：私人住房单位应与density，popchang成反比，它们的系数可能应该是负数。

9.以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：

Y?0.472?0.32log(X1)?0.05X2(1.37)(0.22)(0.046)

R2?0.099其中括号中为系数估计值的标准差。

（1）解释log(X1)的系数。如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？

（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不随X1而变化的假设。分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。

（3）利润占销售额的比重X2对R&D强度Y是否在统计上有显著的影响？ 解：（1）dy/dx1=0.32/x,如果X1增加10%，Y会增加0.032个百分点。这在经济上不是一个较大的影响。

（2）相应的t统计量的值为t=0.32/0.22=1.455。在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为2.045，计算出的t值小于该临界值，所以不拒绝原假设。这意味着销售额对R&D强度的影响不显著。在10%的显著性水平下，t分布的临界值为1.699，计算的t 值小于该值，不拒绝原假设，意味着销售额对R&D强度的影响不显著。

（3）对X2，参数估计值的t统计值为0.05/0.46=1.087，它比10%显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y在统计上没有显著的影响。

10.在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型：

Y??0??1X1??2X2??3X3??

你想检验的虚拟假设是H0：?1?2?2?1。

?,??的方差及其协方差求出Var(???2??)。 （1）用?1212 （2）写出检验H0：?1?2?2?1的t统计量。

（3）如果定义?1?2?2??，写出一个涉及?0、?、?2和?3的回归方程，以便能直接得到?估计值??及其标准误。

??2??)?Var(??)?4Cov(??,??)?4Var(??) 解：（1）Var(?121122??2???1?12??2??)为(???2??)的标准差。 （2）t?，其中se(?1212??2??)se(?12 （3）由?1?2?2??知?1???2?2，代入原模型得

Y??0?(??2?2)X1??2X2??3X3????0??X1??2(2X1?X2)??3X3??