2016新课标三维人教A版数学选修4-1 2.4 弦切角的性质

四

弦切角的性质

[对应学生用书P28]

弦切角定理 (1)文字语言叙述：

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)图形语言叙述：

如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.

[说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．

[对应学生用书P29]

弦切角定理 ?，过C[例1] (2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧?AC＝BD点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE·CD.

[思路点拨] 利用弦切角定理．

?， [证明] (1)因为?AC＝BD所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD.

(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，

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所以△BDC∽△ECB. 故

BCCD＝， BEBC

即BC2＝BE·CD.

利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．

1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.

解析：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.

又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°. 答案：34°

2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证： (1)如果AB∥CD，那么AM＝MB； (2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 证明：(1)∵CD切⊙O于M点， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B，故AM＝MB. (2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.

∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.

3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.

(1)求证：AD⊥CD；

(2)若AD＝2，AC＝5，求AB的长． 解：(1)证明：如图，连接BC. ∵直线CD与⊙O相切于点C，

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∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.

(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. ∴

ADAC

＝， ACAB

∴AC2＝AD·AB.

5∵AD＝2，AC＝5，∴AB＝.

2

[例2] 如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在?CD⊥AB，AB上，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.

求证：CD2＝CE·CF. [思路点拨]

连接CA、CB，∠CAP＝∠CBA、

→

∠CBP＝∠CAB

运用弦切角定理证明比例式或乘积式 Rt△CAE∽Rt△CBDCECD

→＝→结论 CDCFRt△CBF∽Rt△CAD[证明] 连接CA、CB. ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB.

又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， ∴∴

CACECBCF

＝，＝， CBCDCACDCECD

＝，即CD2＝CE·CF. CDCF

证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形

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相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．

4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.

证明：连接BC.

MN∥CD?∠MAC＝∠ACD??

MN切⊙O于A?∠MAC＝∠B???

?∠ACD＝∠B??

∠CAE＝∠CAB???△ACE∽△ABC ?

?

ACAB＝AE

AC

?AC2＝AB·AE.

5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.

(1)求证：EF∥BC； (2)求证：DF2＝AF·BE. 证明：(1)∵⊙O切BC于D， ∴∠CAD＝∠CDF.

∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC. (2)连接DE， ∵⊙O切BC于D， ∴∠BAD＝∠BDE. 由(1)可得∠BDE＝∠FAD， 又∵⊙O内接四边形AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. ∴

DEAF＝BE

DF

. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.

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