备战2020年高考数学一轮复习第3单元导数及其应用单元训练(A卷,理,含解析)

单元训练金卷?高三?数学卷（A） 第3单元 导数及其应用 答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D

【解析】由题意知：f??x???1x2cosx?1xsinx，?f?π??1πcosπ??1π，f???π??2????4π2π2?π?123π2cos2?πsin2??π，?f?π??f???2????π?π??π，

本题正确选项D． 2．【答案】C

【解析】当x?π时，y?2sinπ?cosπ??1，即点(?,?1)在曲线y?2sinx?cosx上． Qy??2cosx?sinx，?y?x?π?2cosπ?sinπ??2，

则y?2sinx?cosx在点(?,?1)处的切线方程为y?(?1)??2(x??)，即2x?y?2??1?0． 故选C． 3．【答案】C

【解析】由题意，根据导函数的图象，可得当x?(??,0)U(2,??)时，f??x??0， 则函数f?x?单调递增；当x?(0,2)时，f??x??0，函数f?x?单调递减，故选C． 4．【答案】D

【解析】函数的定义域为?xx?2?，f?x??x?ln?2?x??f?(x)?1?x2?x， 当f?(x)?0时，函数单调递增，所以有

1?x2?x?0?x?2或x?1，而函数的定义域为?xx?2?， 所以当x?1时，函数单调递增，故本题选D． 5．【答案】D

【解析】f?x?的定义域是（0，+∞），f??x??x?2?ax2?2x?ax?x，

若函数f?x?有两个不同的极值点，则g?x??x2?2x?a在（0，+∞）由2个不同的实数根，

?Δ?4?4a?0故???2?4?，解得0?a?1，故选D． ?x1?4a2?06．【答案】A

【解析】设切点为（m，m3-3m），f(x)?x3?3x的导数为f?(x)?3x2?3， 可得切线斜率k?3m2?3，

由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3

+3m＝(3m2

-3)（x﹣m），

代入点P(2,?6)，可得﹣6﹣m3

+3m＝(3m2

-3)（2﹣m），解得m＝0或m＝3，

当m=0时，切线方程为3x?y?0；

当m=3时，切线方程为24x?y?54?0，故选A．

7．【答案】C 【解析】因为f?x??1?lnxx（x?0），所以f??x??1?1?lnxx??lnxx，

由f??x??0，得x?1，

所以当0?x?1时，f??x??0，即f?x??1?lnxx单调递增； 当x?1时，f??x??0，即f?x??1?lnxx单调递减， 又函数f?x??1?lnxx在区间?a,a?2?上不是单调函数， ?a?所以有?0?a?1，解得0?a?1．故选C．

??a?2?18．【答案】B 【解析】设，则存在唯一的正整数，使得，

设

，，

因为， 所以当以及

时，

为增函数；当时，

为减函数，在处，取得极大值，在

处，

取得极大值．

而

恒过定点

，两个函数图像如图，

1

要使得存在唯一的正整数，使得， ?g?1??h?1??1?3只要满足??g??2??h?2?，即??5?2a?8?12?5?3a，解得1?a?5，故选B．

?g?3??h?3???27?27?5?4a349．【答案】B

【解析】方法一：排除法：当时，

，排除C，

当

时，

恒成立，排除A、D，故选B．

方法二：y'?2x?ex?x2?exx?2?x?e2x?ex， 由，可得，令，可得或，

所以函数在

上单调递减，在

上单调递增，

所以只有B符合条件，故选B． 10．【答案】B 【解析】因为，所以f??x??lnx?1?0?x?1e， 因此当x?1e时，

在??1?e,?????上是增函数，即在上是增函数；

当0?x?1在?????,1?e时，

e??上是减函数，因此f?x??f??1??e?1???e；值域不为R；

当0?x?1e时，

，当x?1e时，

只有一个零点，即只有一个零点；

设切点为

，则

x0lnx0x?lnx0?1，?x0?1，所以过0?1点的切线只有一条，

综上选B． 11．【答案】C 【解析】的解集即为

的解集， 构造函数，则

，

因为，所以

，

所以在上单调递增，且，

所以

的解集为

，

不等式的解集为．故选C．

12．【答案】C

【解析】由题意，?sin???sin?，?sin???sin??，

设f?x??sinxx，x???π?xcosx?sinx?0,2??，?f'?x??x2，x???π??0,2??， 设g?x??xcosx?sinx，x???π??0,2??，

?g??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，\\g(x)在??π?

?0,2??

单调递减，且g?x??g?0??0，?f??x??0，所以f?x??sinx?πx在??0,?

2??

递减， Qsin?sin?????f????f???，????，故选C．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】2

【解析】∵函数y?f(x)的图象在点x?5处的切线方程是y??x?8， ?f?(5)??1，f(5)??5?8?3，?f(5)?f?(5)?3?1?2，

故答案为2． 14．【答案】239 【解析】f(x)?x(1?x2)?x?x3，f?(x)?1?3x2，令f??x??0，得x??33，

在区间?0,1?上讨论：

当x???0,3???时，f?(x)?0，函数为增函数； ?3?当x???3?,1?时，f?(x)?0，函数为减函数， ?3???所以函数在?0,1?上的极值为f??3???3?3?23，故答案是23?3???3999． 15．【答案】??6?33,3??8?

?2

【解析】由题意，可得f?x??sin3x?3cos2x?sin3x?3sin2x?3，x???ππ???3,2??，

令

，t????3,1?，t????3,1??2?，即

??2?，

?则

， 当?32?t?0时，

；当

时，

，

即

在???3,0??为增函数，在

为减函数，

?2?又g??3?6?33??2???，，

，

??8故函数的值域为??6?33,3??8?．

?16．【答案】

【解析】因为，

所以，

又函数

无极值，所以

恒成立，

故Δ?36a2?36?a?2??0，即，解得．

故答案为．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）5x?y?8?0；（2）y?x或y?0．

【解析】（1）由题意得f?(x)?3x2?4x?1，所以f?(2)?5，f(2)?2，可得切线方程为y?2?5(x?2)，整理得5x?y?8?0．

（2）令切点为?x0,y0?，因为切点在函数图像上，所以y30?x0?2x2?x20?x0，f?0??3x0?4x0?1， 所以在该点处的切线为y??x3?2x2???3x200?x00?4x0?1??x?x0?

因为切线过原点，所以0??x32x2??20?0?x0?3x0?4x0?1??0?x0?，解得x0?0或x0?1，

当x0?0时，切点为（0，0），f?(0)?1，切线方程为y?x，

当x0?1时，切点为?1,0?，f?(1)?0，切线方程为y=0， 所以切线方程为y?x或y=0． 18．【答案】（1）a?b?12；（2）?114ln2?4． 【解析】（1）由f?x??alnx?bx2，得f??x??ax?2bx， ?a?1∴f??1??a?2b，则??2b???2，解得a?11?f?1???b??12，b?2．

??2（2）由（1）知，f?x??11211?2x22lnx?2x，f??x??2x?x?2x（x?0）． ∴当x???1?,2?时，f?x?0；当x??2,e?时，f??x???e2????????2??0． ?∴f?x?在??12??2???e,2??上为增函数，在???,e上为减函数， ?2???则f?x??f??2?12111??2????2ln2?2?2??1max4ln2?4． 19．【答案】见解析．

【解析】h?x??ex?x?1，所以h??x??ex?1，

当x≥0时，h'（x）≥0，h（x）为增函数；

当x?0时，h??x??0，h（x）为减函数， 所以h（x）≥h（0）＝0，所以ex?x?1． 20．【答案】（1）；（2）当

时，

的单调增区间是

；

当

时，

的单调递减区间是；递增区间是

．

【解析】（1）当时，f?x??x?lnx，所以f??x??1?1x?x?0?． 所以f?1??1，，所以切线方程为

．

（2）f??x??x?ax(x?0)．当时，在时，，

所以的单调增区间是；

当

时，函数

与

在定义域上的情况如下：

?a 3

所以

的单调递减区间是

；递增区间是

．

综上所述：当时，

的单调增区间是

；

当

时，

的单调递减区间是；递增区间是

．

21．【答案】（1）单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为；（2）m?3．

【解析】依题意，函数的定义域为（1，＋∞）．

（1）当m＝4时，f?x??4ln?x?1??152x2?6x?2．

f??x??4x2?7x?10?x?x?1?x?6?2??x?5?x?1?x?1， 令，解得或；令，解得

．

可知函数f?x?的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．

（2）f??x??4x2??m?3?x?m?x?1?x??m?2??6x?1． ??Δ?????m?3??2??4?m?6??0若函数y?f?x?有两个极值点，则???1??m?3??m?6?0，解得m?3．

??m?3??2?122．【答案】（1）增区间为(0,??)，减区间为(??,0)；（2）??1??1,e?1??．

【解析】（1）f(x)的定义域为R，f?(x)?2x?ex?1，则f?(0)?0，?f??(x)?2?ex， 由于ex?0恒成立，则f??(x)?2?ex在R上大于零恒成立， ?f?(x)?2x?ex?1在R上为单调递增函数，

又Qf?(0)?0，?当x?0时，f?(x)?f?(0)?0，则函数f(x)增区间为(0,??)， 当x?0时，f?(x)?f?(0)?0，则函数f(x)减区间为(??,0)． （2）令g(x)?f(x)?x2?ex?x?m，则g?(x)?ex?1； 令g?(x)?ex?1?0，解得x?0，

令g?(x)?ex?1?0，解得x?0，则g(x)的增区间为(0,2)，

令g?(x)?ex?1?0，解得x?0，则g(x)的减区间为(?1,0)， 由此可得g(x)的大致图像如图：

?要使方程f?x??x2在区间[?1,2]上恰有两个不等的实根等价于函数g(x)与x轴在区间[?1,2]有两?g(?1)?个不同交点，从图像可得?0?g(0)?0，解得?1?m?1?1，故答案为m???1,1?1??．?g(2)?0e?e?

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