安徽省萧县中学高二年级数学对抗赛数学试题（理科）

此时，f(x)的极大值是f(0)?0，极小值是

f(2)??4．

于是函数y?f(x)?x3?3x2的大致图象如右图所

示，

因为方程（※）的相异实根的个数是y?f(x)的图象和直线y?a的交点的个数，所以相异实根的个数为：

（1）当a??4或a?0时，有1个； （2）当a??4或a?0时，有2个；

（3）当?4?a?0时，有3个．

17．（12分）如图，抛物线y?x2上有一点A(a，a2)，a?(0，1)，过点A引抛物线的切线l分别交x轴与直线x?1于B，C两点，直线x?1交x轴

于点D．

（1）求切线l的方程；

（2）求图中阴影部分的面积S(a)，并求a为何值时，S(a)有

最小值？

解：（1）?y?x2，?y??2x，?切线l的方程是y?a2?2a(x?a)，即2ax?y?a2?0； （2）?BD?1?a2，CD?2a?a2，

?S1BDCD?1△BCD?(a3?4a224?4a)．

?S(a)??10x2dx?S△BCD

?13?14(a3?4a2?4a)． ?S?(a)??14(3a2?8a?4)

??14(a?2)(3a?2)． 令S?(a)?0，?a?(0，1)，?a?23． 当a???2?2?0，3??时，S?(a)?0；当a????3，1???时，S?(a)?0．

?a?23时，S(a)有最小值． 18.（13分）把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.

1）43251是这个数列的第几项？

2）这个数列的第96项是多少？

3）求这个数列的各项和.

解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类

第一类：以5打头的有：A44 =24

第二类：以45打头的有：A33 =6

第

三类：以435打头的有：

A22=2………………………………2分

故不大于43251的五位数有：A55??A44?A33?A22??88（个） 即

43251

是

第

88

项.…………………………………………………………………4分

5

⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，

所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.……………………8分

⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A·10000…………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数，所以这个数列各项和为：

（1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000） =15

×

24

×

11111=3999960……………………………………………………………13分 19．（12分）

例4. 若不等式

对一切正整数n都成立，求正整数a

的最大值，并证明你的结论。

解析：取

，

。

令，得

，而

，

所以取

，下面用数学归纳法证明，

，

（1）时，已证结论正确

（2）假设

时，

则当

时，有

，

因为，

所以

，

所以

，

即

时，结论也成立，

由（1）（2）可知，对一切

，

都有

，

故a的最大值为25。

6

20、（12分）我县黄口镇正在申请成为镇级市，为招商引资，需征取部分农用地建设现代化工业示范园，为不影响当地原有的粮食生产，该镇拟采取逐年征取部分土地的办法，慢慢扩大示范园的规模。经测算该地现有农用地地1万 公顷种植粮食，原本规划l0年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％。那么该乡镇平均每年至多只能征地多少公顷(精确到1公顷)?

解：设现在总人口为p人时，10年后总人口为p(1+0．01)10；现在人均粮食占有量为b(吨) ，10年后则为6(1+10％)吨；现在农用地共104

公顷，设每年允许减少x公顷时，10年后农用地将共有(104一l0x) 公顷；现有单产为M吨／公顷，10年后单产为M×(1+22％)吨／公顷。设农用地地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为p人，粮食单产为M吨/公顷。 依题意得不等式

答：该乡镇平均每年至多只能征地4公

顷。………………………………………………12分

21．（14分）

设函数f?x??x2?aln?x?1?. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若函数F(x)?f(x)?ln2有两个极值点x11,x2且x1?x2，求证F(x2)?4 解(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(?1,??)，…… 1分

f?(x)?2x?ax?1?2x2?2x?ax?1(x??1)……2分

令g(x)?2x2?2x?a，则??4?8a．

①当??0，即a?12时，g(x)?0，从而f'(x)?0，故函数f(x)在(?1,??)上单调递增；……3分

②当??0，即a?12时，g(x)?0，此时f'(x)?0，此时f'(x)在f'(x)?0的左右两侧不变号，故函数f(x)在(?1,??)上单调递增； ……4分

③当??0，即a?1时，

g(x)?0的两个根为x?1?1?2a?1?1?2a21?2,x12?2??2，当1?2a?1，即a?0时，x11??1，当0?a?2时，x1??1． 故当a?0时，函数f(x)在(?1,?1?1?2a?2)单调递减，在(1?1?2a2,??)单调递增；当0?a?12时，函数f(x)在(?1,?1?1?2a?12),(?1?2a2,??)单调递增，在7

(?1?1?2a2,?1?1?2a2)单调递减．…… 7分 (Ⅱ)∵F?(x)?f?(x),∴当函数F(x)有两个极值点时0?a?12，0?1?2a?1， 故此时x1?1?2a2??2?(?12,0)，且g(x2)?0，即a??(2x22?2x2)， …… 9分 ?F?x2??x22?aln?1?x2??ln2?x22?(2x22?2x2)ln?1?x2??ln2,

设h(x)?x2?(2x2?2x)ln(1?x)?ln2，其中?12?x?0， ……10分 则h?(x)?2x?2(2x?1)ln(1?x)?2x??2(2x?1)ln(1?x)，

由于?1?x?0时，h'(x)?0，故函数h(x)在(?122,0)上单调递增，

故h(x)?h(?112)?4．

∴F(x(x12)?h2)?4． …… 14分

8